ИСТИНА

Пусть компактная область Omega на плоскости такова, что её граница является объединением кусочно-гладких кривых, состоящих из дуг софокусных квадрик, причем в точках излома углы прямые. Такую область назовем элементарной. Рассмотрим биллиард в ней, описываемый движением точки внутри Omega с абсолютно упругим отражением на границе. В точках, где граница не гладкая траектории системы доопределим по непрерывности: попав в вершину угла, материальная точка, не теряя скорости, отразится назад по той же траектории. Будем называть такие биллиарды элементарными биллиардами. Такая система интегрируема: помимо квадрата модуля вектора скорости вдоль траекторий биллиарда сохраняется функция Lambda -- параметр софокусной квадрики: прямые, содержащие звенья ломаной-траектории биллиарда являются касательными к некоторой квадрике с фиксированным параметром Lambda, принадлежащей тому же семейству квадрик что и граница биллиарда. Определение. Невыпуклым топологическим биллиардом назовем биллиард, склеенный из конечного числа элементарных биллиардов вдоль общих сегментов границ, которые могут быть как выпуклыми так и невыпуклыми. Материальная точка топологического биллиарда движется внутри каждой из областей вдоль отрезков прямых, переходя из одной области в другую при попадании на границу склейки. Ранее автором была получена лиувиллева классификация всех топологических биллиардов, полученных склейками вдоль выпуклых границ В докладе будет представлена полная классификация биллиардных областей и полная классификация их инвариантов Фоменко-Цишанга.