ИСТИНА

Рассматривается уравнение поперечных колебаний балки, у которой модуль Юнга и поперечное сечение зависят от продольной координаты. Дана постановка задачи о собственных частотах поперечных колебаний такой балки. Методом разделения переменных Фурье задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами для собственных функций (исходное уравнение). Далее построено интегральное представление решения исходного уравнения через решение такого же уравнения только с постоянными коэффициентами (сопутствующее уравнение). В интегральную формулу входит функция Грина исходного уравнения, решение которого ищется в виде ряда по чётным степеням собственных частот. Коэффициенты сопутствующего уравнения находятся из решения вспомогательных задач и называются эффективными коэффициентами. Решение сопутствующего уравнения определяется аналитически в общем виде с точностью до четырёх констант. В итоге из интегрального представления получается общее решение исходного уравнения, в которое входит четыре произвольных константы. Они находятся из однородных условий на концах стержня. В результате удовлетворения этим условиям получается частотное уравнение. Рассматриваются частные случаи опор концов балки.