ИСТИНА

Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля тесно связана с проблемой поиска и построения фундаментальных S-единиц гиперэллиптического поля и проблемой кручения в якобиане соответствующей гиперэллиптической кривой. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Б. Мазуром в 1978 году. Для гиперэллиптических кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел приведенные три проблемы остаются от- крытыми. Теория функциональных непрерывных дробей стала мощным арифметическим инструментом для исследования этих проблем. Кроме этого, возникающие в теория функциональных непрерывных дробей задачи имеют собственный интерес. Иногда эти задачи имеют аналоги в числовом случае, но особенно интересны задачи, которые значительно отличаются от числового случая. Одной из таких задач является задача об оценке сверху длин периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля. В данной статье мы находим оценки сверху на длины периодов для ключевых элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, длина периода рассматриваемых элементов либо бесконечна, либо не превосходит удвоенной степени фундаментальной S-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В.П. Платоновым и Г.В. Федоровым для гиперэллиптических полей L = Q(x)(√f), deg f = 2g + 2, найден точный промежуток значений s ∈ Z таких, что непрерывные дроби элементов вида √f/hs ∈ L\Q(x) периодические. Используя этот результат в данной статье найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел, зависящие только от рода гиперэллиптического поля и порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.