ИСТИНА

Рассматривается классическая задача Штурма-Лиувилля об определении собственных значений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями общего вида (исходная задача). Ровно такая же задача, но только для уравнения с постоянными коэффициентами (сопутствующая задача) имеет общее аналитическое решение с двумя неопределёнными константами интегрирования. Показано, что решение исходного уравнения представляется через общее решение сопутствующего уравнения с помощью интегральной формулы. В интегральную формулу входит фундаментальное решение исходного уравнения. В итоге получаем общее решение исходного уравнения с двумя произвольными константами. Удовлетворяя однородным граничным условиям, получаем точное спектральное уравнение для собственных значений исходной задачи. Фундаментальное решение исходного уравнения находим методом возмущений в виде ряда. Удерживая конечное число членов ряда, получаем приближенное уравнение для собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрен конкретный пример. Работа выполнена в рамках государственного задания МГУ имени М.В. Ломоносова АААА-А16-116070810022 «Теоретические исследования и методы расчётов в макро-, микро- и наномеханике композитов», при финансовой поддержке Московского Центра фундаментальной и прикладной математики.