ИСТИНА

Рассмотрены задачи на собственные значения тензора и тензорно-блочной матрицы (ТБМ) любого четного ранга. Приведены формулы, выражающие классические инварианты тензора и ТБМ любого четного ранга через первые инварианты их степеней, а также обратные к этим формулам соотношения. В явном виде построена полная ортонормированная система собственных тензоров симметрического тензора, а также полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов для ТБМ. Как частный случай, рассмотрены задачи на собственные значения для тензора и ТБМ четвертого ранга. Даны определения символов структуры для тензора и ТБМ соответственно, а также соответствующих этим тензорным объектам материалов классической и микрополярной линейных теорий упругости. Доказано существование микрополярных материалов с двумя отрицательными коэффициентами Пуассона. Найдены собственные значения и собственные тензоры для классических материалов кристаллографических сингоний, а также для некоторых микрополярных материалов. С помощью введенных в рассмотрение дифференциальных ТБМ уравнения движения в перемещениях и вращениях и статических граничных условий записаны уравнения движения и статические граничные условия соответственно. Найдены выражения для дифференциальных тензоров-операторов кофакторов, дифференциальных ТБМ кофакторов и определителей дифференциальных тензоров-операторов и дифференциальных тензорно-блочных матриц в случае трансверсально-изотропных и изотропных материалов. Уравнения движения и статические граничные условия, выраженные через векторы перемещений и вращений, расщепляются с помощью построенных соответствующих дифференциальных ТБМ кофакторов. Трехмерные начально-краевые задачи для линейных классических и микрополярных теорий анизотропных однородных сред с кусочно-плоской границей расщеплены. Изложенный выше материал с большим успехом распространяется на повторно-градиентные теории упругости и вязкоупругости и др. Ключевые слова: задача на собственные значения тензора и ТБМ, собственный тензор, собственный тензорный столбец, полная ортонормированная система собственных тензоров, дифференциальный тензор-оператор, дифференциальный тензор-оператор кофакторов. Благодарность: работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2019-1621.