ИСТИНА

полне нетрицательным грассманианом $Gr^{\mbox{\tiny TP}}(k,n)$ называется подмножество вещественного грассманиана $Gr(k,n)$, выделяемое условием: все плюккеровы координаты точек неотрицательны. Вполне неотрицательные матрицы и грассманианы естественно возникают в ряде задач математичской физики, в частности, наш интерес к данной тематике был мотивирован тем, что по точкам таких грассманианов строятся вещественные регулярные решения уравнения Кадомцева--Петвиашвили в виде нелинейной суперпозиции одномерных солитонов, причем геометрия этих решений может быть очень нетривиальной. Указанные грассманианы допускают естественную стратификацию, уточняющую разбиение на клетки Шуберта и получающиеся как пересечение стратификации Гельфанда--Сергановой с неотрицательной частью грассманиана. Параметризация каждой из этих страт (бирационально эквивалентных положительному октанту в $\RR^N$) была построена А. Постниковым \cite{Pos} в терминах положительных весов на ребрах Le-графа, однако можно рассматривать и более общие графы с весами со следующим набором свойств: 1) эти графы планарны; 2) все вершины лежат либо в верхней полуплоскости, либо на границе, причем граничных вершин ровно $n$; 3) все граничные вершины имеют валентность 1, все внутренние -- 2 или 3; 4) все внутренние вершины раскрашены в два цвета -- черный и белый; 5) граф снабжен ориентацией согласованной с раскраской, т.е. в каждую белую вершину входит ровно одно ребро и из каждой черной вершины выходит ровно одно ребро; 6) в $n-k$ граничных вершин ребра входят, из оставшихся $k$ -- выходят. Кроме того мы предполагаем, что через каждое ребро проходит хотя бы один путь от границы до границы. Конструкция Постникова задает систему векторов в $\RR^n$ на граничных ребрах графа, однако естественно попытаться продолжить эту систему на внутренние ребра. Как отметил Лэм \cite{Lam1}, для этого необходимо приписать ребрам графа числа $\pm 1$--сигнатуры. В \cite{Lam1} был поставлен вопрос об описании всех возможных сигнатур, согласованных с полной неотрицательностью. В нашей работе мы даем решение указанной задачи, предъявив так называемую геометрическую сигнатуру и показав, что все согласованных с полной неотрицательностью сигнатуры совпадают с геометрической с точность до действия естественных калибровочных преобразований.