ИСТИНА

В последние годы в теории биллиардов было совершено несколько важных открытий. С одной стороны, многими российскими математиками совместно с зарубежными коллегами (С.В. Болотин, А.А. Глуцюк, М. Бялый, А.Ю. Миронов, В.Ю. Калошин, А. Соррентино) в разных вариантах формулировок была доказана знаменитая гипотеза Дж.Биркгофа о неинтегрируемости биллиарда в плоской области, ограниченной гладкой кривой отличной от эллипса. С другой стороны, введение класса биллиардных книжек позволило получить достаточно большой класс интегрируемых систем с неэквивалентными слоениями Лиувилля. Рассмотрим двумерный комплекс, двумерными клетками которого являются плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик. Одномерными клетками комплекса являются сегменты границ элементарных биллиардов -- участки между изломами граничных кривых. Занумеруем все двумерные клетки и припишем каждому одномерному ребру комплекса -- так называемому корешку книжки -- циклическую перестановку из номеров листов, примыкающих к данному ребру. Изометрично спроектируем все биллиарды-листы на плоскость. Если ребра комплекса при этой проекции попали в одну дугу квадрики, то объединим приписанные им циклы в одну перестановку. То есть, не имеющих общих точек корешкам, которые при этой изометричной проекции оказываются в одной дуге квадрики приписаны разные циклы (не пересекающиеся) одной перестановки. Потребуем, чтобы перестановки, приписанные двум дугам квадрик, имеющих общую точку, коммутировали между собой. Такой двумерный комплекс с приписанными перестановками назовем биллиардной книжкой. Введение биллиардных книжек позволило не только существенно расширить класс интегрируемых биллиардных систем, но и обнаружить новые слоения Лиувилля (пусть и кусочно-гладкие). Эти слоение Лиувилля (закодированные инвариантами Фоменко-Цишанга), с одной стороны, ранее не встречались в классических задачах динамики, а с другой стороны, биллиардные системы, им соответствующие, имеют наглядное описание.