ИСТИНА

Среди различных моделей ветвящихся случайных блужданий (ВСБ), получивших широкое распространение в последние годы, особое место занимают каталитические ВСБ или ВСБ в неоднородной среде. Их особенностью является наличие особых точек в пространстве, только находясь в которых, частицы, совершающие случайное блуждание, могут также производить потомство или гибнуть. Говорят, что эти точки содержат "катализаторы", их также называют источниками размножения и гибели частиц или источниками ветвления. В первых работах на эту тему рассматривался единственный источник ветвления. Далее предполагалось, что имеется конечное число произвольно расположенных источников в Z^d. В работах М.В.Платоновой, К.С.Рядовкина (2017, 2019) авторы рассмотрели ВСБ с множеством источников ветвления, имеющим периодическую структуру, и назвали его ВСБ на периодических графах. Интересно, что при изучении каталических ВСБ менялись не только модели, но и постановки задач. Так, важную роль играли классификация на надкритические, критические и докритические ВСБ, анализ асимптотического по времени поведения общих и локальных численностей частиц, а позднее задачи выявления предельной формы случайного облака частиц, распространяющегося в пространстве с течением времени. Данный доклад посвящен исследованию эволюции пространственного распространения популяции частиц в ВСБ на периодических графах. Предполагается, что режим ветвления надкритический, а случайное блуждание имеет "легкие" хвосты. Нами установлено, что в метрике Хаусдорфа нормированное множителем 1/t случайное облако частиц, существующих в рассматриваемом ВСБ в момент времени t, сходится для почти всех точек события невырождения популяции к множеству P, называемому асимптотической формой популяции ВСБ, когда t стремится к бесконечности. Также найдена явная формула, описывающая предельное множество P. Если все источники имеют одни и те же параметры и расположены периодически на Z^d, то описание P вовлекает экспоненциальные моменты времени и места первого достижения (или первого возвращения) случайным блужданием множества катализаторов. Если же рассматривается более общая ситуация, когда источники ветвления имеют различные характеристики (например, в одном источнике частицы только дают потомков, а в другом -- только гибнут) и расположены периодически, то P выражается с помощью вспомогательных множеств, порожденных определенными функциями от перроновых корней некоторых семейств неотрицательных матриц, построенных на основе средних численностей потомков в разных источниках и некоторых характеристик инфинитезимального оператора случайного блуждания. Мы рассматриваем несколько примеров и демонстрируем способы нахождения соответствующих множеств P. Основная идея доказательств наших результатов состоит в рассмотрении ВСБ на периодических графах в рамках многотипного общего ВСБ, изученного, например в работах Дж.Д.Биггинса. Кроме того, применяется аппарат преобразования Лапласа, введение вспомогательного многотипного марковского ветвящегося процесса, теории неразложимых неотрицательных и квазинеотрицательных матриц (в частности, теорема Перрона-Фробениуса).