ИСТИНА

Пусть последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n\ge 0}$ образует неразложимую цепь Маркова с конечным множеством состояний. Пусть случайные величины $\xi_n, n\in\mathbb{N},$ независимы при условии цепи, и условное распределение $\xi_n$ зависит только от значений $X_{n-1}$ и $X_n$. Положим $S_0:=0,\ S_n:=\sum_{i=1}^n \xi_i$ и введем функцию восстановления $$ u_k:= \sum_{n=0}^{+\infty} {\bf P}(S_n=k). $$ Теория восстановления для таких процессов активно развивалась в работах [1], [2], причем рассматривались значительно более общие цепи $\{X_n\}_{n\ge 0}$. Из результатов указанных работ вытекает, что последовательность $\{u_k\}_{k\ge 0}$ сходится, значение предела вычисляется явно. Результаты о степенной скорости сходимости при дополнительных предположениях получены в работе [3]. В настоящей работе доказано, что при некоторых дополнительных условиях, имеет место экспоненциальная скорость сходимости величин $u_k,\ k\ge 0$, а именно, найдутся такие величины $C,B_0>0,\ B_1>1$, что справедливо соотношение $$ |u_k-C|\le B_0B_1^{-k},\quad k\in\mathbb{N}. $$ Аналогичный результат получен в работе [4], однако, метод настоящего исследования отличается в значительной степени и позволяет получить выражение для параметра $B_1$. {\bf Библиография.} \begin{enumerate} \item H. Kesten (1974). Renewal theory for functionals of a Markov Chain with general state space, {\it The Annals of Probability}, {\bf 2}, 3, 355-386. \item K. B. Athreya, D. McDonald and P. Ney (1978). Limit theorems for semi-Markov processes and renewal theory for Markov chains, {\it The Annals of Probability}, {\bf 6}, 5, 788-797. \item C.-D. Fuh and T.L.Lang (2001). Asymptotic expansions in multidimensional Markov renewal theory and first passage times for Markov random walks, {\it Advances in Applied Probability}, {\bf 33}, 3, 652-673. \item А.Е. Заславский (1972). Оценка скорости сходимости в теореме восстановления для случайных величин, заданных на цепи маркова, {\it Теория вероятн. и ее примен.}, {\bf 17}, 3, 563-573. \end{enumerate}