ИСТИНА

Топологический подход к изучению интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем был предложен в работах А.Т.Фоменко. Он развивает результаты классической теории Морса на случай, когда система интегрируема, т.е. функция H (гамильтониан) на симплектическом многообразии M4 имеет независимый первый интеграл F. Возникает слоение Лиувилля: неособый уровень энергии расслаивается значениями интеграла F на регулярные слои и их бифуркации. С точностью до послойной гомеоморфности система классифицируется графом-молекулой с метками (инвариант Фоменко-Цишанга), вершины которого отвечают бифуркациям слоения, а ребра – семействам регулярных слоев. Если слои компактны, то они гомеоморфны торам, а невырожденная по Морсу-Ботту бифуркация (3-атом) является многообразием Зейферта. Траектории системы на таком торе образуют прямолинейную (периодическую или всюду плотную) обмотку, т.е. следующий из совпадения инвариантов двух систем гомеоморфизм их слоений влечет совпадение замыканий почти всех их решений. Данный подход был применен для классических задач механики (включая волчки Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) и их обобщений для различных алгебр Ли, геометрии (например, интегрируемые геодезические потоки на 2-мерных поверхностях). В нашем курсе мы изложим основы теории Фоменко-Цишанга и расскажем о её недавнем развитии в применении к двум широким классам систем. Первым являются интегрируемые биллиарды на двумерных клеточных комплексах с перестановками (введенных В.В.Ведюшкиной биллиардных книжках). Мы покажем, как именно особенности лиувиллевых слоений интегрируемых биллиардов описываются в терминах теории Фоменко--Цишанга, и в частности, опишем возникающее слоение Зейферта.