ИСТИНА

Актуальность работы связана с необходимостью разработки методов решения задач перехвата групп целей в различных средах. Рассматривается математическая задача оптимизации удаления крупных фрагментов космического мусора с низких околоземных орбит. Считается, что элементы орбит фрагментов мусора в начальный момент времени известны, далее они эволюционируют под влиянием гравитационного поля Земли с учётом второй зональной гармоники. Другие возмущения в работе не учитываются. Для удаления фрагментов мусора с орбит может использоваться любое количество космических аппаратов. Космические аппараты в работе представляют собой материальные точки, управляемые импульсными воздействиями. Задача оптимизации траекторий управляемых объектов рассматривается с единым критерием всей миссии перехвата группы целей - минимизацией общих затрат на удаление всех фрагментов мусора. Запас топлива космических аппаратов ограничен. Для решения задачи удаления фрагмента мусора в некоторый момент времени координаты и скорости аппарата должны совпасть с координатами и скоростями этого фрагмента, после чего аппарат должен двигаться совместно с ним на протяжении минимум 5 дней. Следующего обломка аппарат должен достигнуть не более чем через 30 дней. Общая продолжительность миссии ограничена. Описанная задача является NP-трудной и рассматривалась как динамическая задача коммивояжёра (MT-TSP). В качестве элементарной операции было выбрано нахождение траектории между двумя обломками, которая определялась в 2 этапа: 1) Быстрый расчёт перехода между двумя обломками в упрощённой постановке в центральном ньютоновском поле сил. 2) Уточнение траектории методом стрельбы с учётом 2-й зональной гармоники с использованием модифицированного метода Ньютона и метода Рунге-Кутты 8 порядка, основанного на расчётных формулах Дормана-Принса с автоматическим выбором шага. Для уточнения времён старта и финиша при этом может использоваться внешняя оптимизация градиентным методом. Первый этап необходим для получения понимания, между какими обломками вообще целесообразно летать, так как сильно невыгодные по энергозатратам перелёты не позволят получить приемлемое совокупное решение. В работе рассматривалось две возможности реализации манёвра 1 этапа. Во-первых, с заданным шагом времени осуществлялся дискретный перебор точек старта и финиша на орбитах обломков, между которыми планировался перелёт. Далее по полученным точкам формировались и решались на основе универсального уравнения Кеплера соответствующие задачи Ламберта с получением двухимпульсных траекторий. Такой подход оказывается оправданным, когда переход близок к компланарному. И, во-вторых, построение трёхимпульсного перехода с дополнительным импульсом на линии узлов для поворота орбиты. Задачи Ламберта удобны тем, что имеют решения для любого корректного набора параметров, их решение может быть сведено к поиску корня нелинейной функции от одной переменной и не представляет вычислительных трудностей. В работе задачи Ламберта решались численно модифицированным методом Ньютона на основе универсального уравнения Кеплера. Также было произведено сравнение реализованного метода решения задачи Ламберта с методом Д. Иццо. Для построения цепочек перелётов был задействован именно первый этап построения элементарной операции, второй этап использовался для уточнения получаемых траекторий, чтобы они удовлетворяли усложнённой математической модели исходной задачи. MT-TSP задача построения цепочки перехватов решалась лучевым поиском, представляющим собой некоторую комбинацию поиска в глубину и в ширину, так как требовалось значительно сократить перебор. Решить задачу полным перебором всех возможных комбинаций за разумное время не представляется возможным. Для каждого выбранного первого обломка строилось дерево возможных дальнейших перелётов на основе вычисления соответствующих элементарных операций, но при этом разворачивалось лишь ограниченное количество ветвей, перспективных по локальным и суммарным характеристическим затратам на перелёты. Завершение построения дерева происходит при истощении запасов топлива космического аппарата. После этого элементарные операции, из которых состоит цепочка перелётов, пересчитываются в исходной более точной математической модели. После построения цепочки перелётов для очередного космического аппарата, состоящей из элементарных операций в условиях осуществляется последовательное применение разработанного в алгоритма к оставшимся целям, которые ещё не задействованы в уже построенных цепочках. В итоге из таких серий совокупных миссий строится база данных удачных цепочек облёта целей. После построения миссии перехвата всех обломков осуществляется попытка обмена целями между космическими аппаратами в рамках построенной миссии, с целью поиска лучшего по функционалу решения задачи. Для решения задачи был реализован соответствующий программный комплекс на языке C. В работе разработана методика решения задачи перехвата фрагментов космического мусора в импульсной постановке как Moving Target Travelling Salesman Problem (MT-TSP). Проведено численное моделирование, представлен план перехвата обломков. Помимо проблемы космического мусора рассматриваемая постановка также актуальна для задачи обслуживания группировки спутников. Работа является развитием работы "Kessler Run - simulating collisional cascading prevention on Low Earth orbit as a solution of the MT-TSP problem", представленной на X симпозиуме «Безопасность космических полетов» в 2023 году.