ИСТИНА

Математический аппарат для решения задач течений жидкостей и газов –нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных –все еще остаются сложными как для аналитического исследования, так и для численного моделирования. Попытки упрощения исходных уравнений за счет пренебрежения некоторыми членами уравнений имеют особенности. Наличие сколь угодно малых членов высших порядков в системе дифференциальных уравнений может совершенно изменить характер решений. При формальном упрощении может оказаться, что при стремлении коэффициента в некотором члене уравнения к нулю решение исходного уравнения не стремится к решению уравнения, получаемого отбрасыванием члена с этим коэффициентом. Может быть утрачено описание моделью некоторых существенных в изучаемом явлении процессов (нелинейность, нестационарность, пространственная неодномерность, сжимаемость, завихренность, конвекция и т.д.). Используемые при нахождении приближенных решений методы очень гибки, действуя решительно, можно получить ответ в достаточно сложной задаче. Материал, вошедший в доклад, относится к различным газовым течениям (одномерные невязкие течения, двумерные течения с вязко-невязким взаимодействием). Математический аппарат, используемый для решения соответствующих задач, также различен (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных); общность же материала заключается в идее использования для анализа поставленных задач особых (сингулярных) возмущений (хотя бы и имеющих различную физическую природу и описываемых различными способами). 1. Выведено уравнение нелинейных околорезонансных колебаний газа в канале при воздействии периодической вынуждающей силы на одном из концов канала. Основной особенностью использованного для исследования задачи метода является учет слабой вязкости и теплопроводности газа в уравнениях, мо-делирующих процесс колебаний. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение колебаний сингулярно. В этой связи ударные волны введены не как разрывы, а как очень быстрые непрерывные изменения параметров среды. Несмотря на сингулярность, полученное уравнение существенно облегчает аналитическое исследование и дает возможность численного расчета и периодических непрерывных, и содержащих ударные волны колебаний, устанавливающихся в канале для конкретных значений параметров среды. 2. Предложено сингулярное уравнение, более правильно по сравнению с уравнением Линя-Рейсснера-Цяня описывающее нестационарное течение в окрестности перехода через скорость звука (модифицированное уравнение Линя-Рейсснера-Цяня). Такое уравнение позволяет анализировать поведение и низко-, и высоко- ча-стотных нестационарных возмущений течения, не имеет вырожденных характеристических поверхностей и допускает построение конуса зависимости решения от начальных данных; постановка задачи Коши для такого уравнения оказывается корректной и, по крайней мере в малом, решение задачи единственно. 3. Предложена модифицированная модель для описания свободного нестационарного вязко-невязкого взаимодействия на трансзвуковых скоростях. В этой модели для описания течения в области невязкого свободного течения используется модифицированное уравнение Линя-Рейсснера-Цяня, что позволяет преодо-леть недостатки описания нестационарного трансзвукового течения на основе традиционного трансзвукового разложения (дающего уравнение Линя-Рейсснера-Цяня). На основе модифицированной модели решен ряд задач свободного нестационарного вязко-невязкого взаимодействия на трансзвуковых скоростях (устойчивость взаимодействующего пограничного слоя, распространение фронта слабого возмущения, возникновение нестационарных ударных волн). В задаче устойчивости пограничного слоя при свободном вязко-невязком взаимодействии учтены воз-мущения во внешнем течении, распространяющиеся вниз по потоку. Показано, что учет указанных возмущений дает дополнительный корень дисперсионного соотношения, причем этот дополнительный корень соответствует растущим возмущениям. Предложенный метод сингулярных возмущений для исследования газодинамических задач позволяет более полно учитывать особенности изучаемых течений. Для части исследованных задач метод является един-ственным на сегодняшний день способом описать полную картину поля изучаемых течений (распространение возмущений вниз по потоку в нестационарных трансзвуковых течениях), для части –провести анализ особенно-стей поля течения (ударных волн) без привлечения дополнительных построений (метод «площадей» и прочее). Метод позволяет провести сравнение результатов, полученных при использовании регулярных и сингулярных моделей. Метод может быть использован для исследования других задач механики жидкости и газа. Работа выполнена в соответствии с планом исследований НИИ механики МГУ при частичной финансо-вой поддержке Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-8425.2016.1), Российского научного фонда (про-ект 14-11-00773) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 16-29-01092).