ИСТИНА

Мы рассматриваем специальный класс одномерных сдвиг-масштабных смесей нормальных законов с математическом ожиданием, пропорциональным дисперсии. Этот класс очень широк и включает, в частности, обобщенные гиперболические, обобщенные дисперсионные гамма распределения, распределение Линника, логистическое, экспоненциально-степенное, обобщенное распределение Стьюдента (Ломакса) и их скошенные модификации. Мы приводим примеры случайных сумм специального вида, для распределений которых дисперсионно-сдвиговые нормальные смеси являются предельными и доказываем оценки скорости сходимости распределений смешанных пуассоновских случайных сумм к соответствующим предельным смесям. Построение оценок основано на фундаментальном неравенстве типа Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм из работы [Makarenko, Shevtsova // Mathematics, 2023], в котором «константа» зависит от центрирующего параметра (нормированного математического ожидания) случайных слагаемых и уменьшается (вплоть до полутора раз по сравнению с абсолютной) при стремлении центрирующего параметра к нулю до значения, как в случае изначально центрированных слагаемых. Эта зависимость является краеугольным камнем, позволяющим уточнить оценку скорости сходимости в полтора раза, так как при дисперсионно-сдвиговом смешивании соответствующий центрирующий параметр может быть ненулевым, но является бесконечно малым. В качестве промежуточного результата мы находим абсолютные моменты распределения Колмогорова всех порядков.