ИСТИНА

Получены следующие результаты. 1. Пусть $X$~-- банахово пространство и пусть множество $M\subset X$ замкнуто, $\operatorname{m}$-связно и ограниченно компактно. Тогда $M$~-- монотонно линейно связно, пересечение $M$ с любым замкнутым шаром клеточноподобно {\rm (}и, в~частности, ацик\-лич\-но относительно любой непрерывной теории {\rm (}ко{\rm )}гомологий{\rm )} и является солнцем. Если $X$ конечномерно, то пересечение $M$ с любым замкнутым шаром стягиваемо и на него существует непрерывная $\varepsilon$-выборка для любого $\varepsilon>0$ 2. Ограниченно слабо компактное $\operatorname{m}$-связное подмножество сепарабельного банахова пространства монотонно линейно связно. 3. Аппроксимативно компактное $\operatorname{m}$-связное подмножество банахова пространства является $\delta$-солнцем. 4. Множество экспоненциальных сумм с неотрицательными коэффициентами $ E_n^+:=\bigl\{\sum^n_{j=1}\alpha_j e^{t_jx} \, \Bigl| \, \alpha_j \ge 0, \ \ t_j\in \mathbb R\bigr\} $ является чебышёвским солнцем в $C[a,b]$. На $E_n^+$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная)$\varepsilon$-выборка из оператора почти наилучшего $\varepsilon$-приближения для любого $\varepsilon>0$.