ИСТИНА

Мы распространяем известную теорему Рейнуотера--Симонса на случай сходимости относительно ассоциированной нормы~${|{\,\cdot\,}|}$ на широком классе пространств (в частности, на сепарабельных банаховых). Теорема Рейнуотера--\allowbreak Си\-мон\-са утверждает, что ограниченная последовательность $(x_n)$ в банаховом пространстве~$X$ слабо сходится к $x \in X$ если и только если последовательность $(f (x_n))$ сходится к~$f (x)$ для каждого функционала $f$ из произвольной фиксированной границы Джеймса пространства~$X$ (например, для всех $f\in \operatorname{ext} S^*$). Таким образом, хотя в общем случае слабая сходимость не метризуема, имеется норма на~$X\in (\sttwo)$, относительно которой сходимость \textit{последовательностей} равносильна слабой сходимости.