ИСТИНА

В докладе изучается классический вопрос о сравнении алгебры Ли дериваций ассоциативной алгебры A с ее подалгеброй внутренних дериваций, так называемая проблема дериваций Джонсона. Проблема дериваций формулируется следующим образом: все ли деривации являются внутренними? Эта задача рассматривалась не для всяких алгебр, а для групповых алгебр \bar A=L^{1}(G) некоторой группы G. Нас же интересует не вся банахова алгебра \bar A=L^{1}(G), а только ее плотная подалгебра A=C[G]\subset\bar A, состоящая, так сказать, из гладких элементов в алгебре \bar A=L^{1}(G), следуя терминологии А.Кона. Для групповой алгебры A=C[G] также можно сформулировать аналогичную задачу: описать алгебру всех внешних дериваций групповой алгебры A=C[G]. С каждой группой G мы связываем группоид \cG, ассоциированный с присоединенным действием группы G, который позволяет выразить деривации групповой алгебры C[G] в виде характеров на группоиде \cG. С каждым группоидом, задаваемым конечно представимой группой, можно, в свою очередь, связать граф Кэли и, более общим образом, двумерный комплекс Кэли. Мы доказываем, что алгебра Out(C[G])=Der(C[G])/Int(C[G]), так называемая алгебра внешних дериваций, изоморфна одномерной группе когомологий комплекса Кэли группоида \cG с конечными носителями: Out(C[G])\approx H^{1}_{f}(K(\cG); R).