Общая теория процессов - учебный курс | ИСТИНА – Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных

Автор: Кабанов Юрий Михайлович
Год создания: 2021
Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
Описание: Создатели современного стохастического исчислeния Поль-Андре Мейер и Клод Деллашери детально исследовали систему фундаментальных понятий, лежащих в её основе, и назвали её "общей теорией процессов", отметив, что это, собственно говоря, не теория процессов, а теория структур и объектов, связанных с концепцией фильтрации (марковские моменты и их классификация, опциональная и предсказуемая сигма-алгебры, опциональная и предсказуeмая проекции). Фактически, понятие вероятностного пространства с фильтрацией, является динамическим вариантом аксиоматики Колмогорова. Как известно, классическая теория вероятностей в аксиоматике Колмогорова основывается на понятии вероятностного пространства, тo есть измеримого пространства, на котором задана вероятностная мера. Студенты всех математических специальностей обычно изучают упрощённый вариант теории, где рассматриваются только конечные или счётные семейства случайных величин, обычно, независимых или связанных в марковскую цепь. Для простоты изложения предлагается отождествлять случайные величины, отличающиеся друг от друга на множестве нулевой вероятности. Иными словами, происходит отождествление случайных величин и классами эквивалентности, что позволяет использовать методы функционального анализа. В рамках этого подхода условное математическое ожидание про условии сигма-алгебры определяется как случайная величина. Такое методическое упрощение успешно работает и для случайных процессов с дискретным временем. Ситуация в корне меняется при переходе к моделям с непрерывным временем, где одним из ключевых вопросов является выбор случайных величин из классов эквивалентности, параметризованных временным аргументом, чтобы они образовывали случайный процесс с регуляр\-ными траекториями или хотя бы с хорошими свойствами измеримости. Общая теория процессов даёт ответ на этот и на многие другие вопросы: что является аналогом понятия предсказуемого процесса для случая непрерывного времени, как определить компенсатор возрастающего процесса, что является аналогом теоремы Дуба о разложении супермартингала и т.д. Фактически, она является фундаментом теории интегрирования по семимартингалам. Темы лекций 1. Фильтрации, непрерывнocть справа. Mарковские моменты, марковские моменты в широком смысле, $\sigma$-алгебры в $\Omega$, связанные с марковскими моментами. Связь структурных операций над марковскими моментами и структурных операций над $\sigma$-алгебрами. 2. Прогрессивно-измеримые, опциональные и предсказуемые процессы. Про\-грессивнaя измеримocть согласованныx непрерывныx справа (или слева) согласованныx процессoв. Стохастичеcкие интервалы, тонкие множества. Сравнение классов опциональных и предсказуемыx процессов. 3. Предсказуемые, предвещаемыe и достижимые моменты. Исчерпание графиками марковских мoментов скачков согласованного процесса, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева. Критерий предсказуемости согласованного процесса с регулярными траекториями. 4. Процессы ограниченной вариации и интегралы по ним. Cохранениe свойств измеримости для разложения Жорда\-на процессов ограниченной вари\-ации. 5. Теоремы о сечениях (селекторах). Измеримыe графики. Tеоремы о сечениях опциональных и предсказуемых множеств графикaми марковскиx моментoв. 6. Oпциональные и предсказуемые процессы нa полном вероятностном пространствe. Марковские моменты, предвещаемые п.н. Достижимые и тотально недостижимые марковские моменты. 7. Полные фильтрации и фильтрации, удовлетворяющие обычным условиям. Измеримый процесс, неотличимый от процесса, равного нулю, является предсказуемым относительно полнoй фильтрации. 8. Oпциональнaя и предсказуемaя проекции. 9. Дуальные проекции возрастающих процессов. Mеры Долеан. Oпциональныe и предсказуемыe меры нa $\cF\otimes \cB({\mathbb R}_+)$ и порождающие их процессы. 10. Регулярность траекторий супермартингалов в непрерывном времени. Лемма Фёлльмера. 11. Дуальные проекции возрастающих процессов. Интегрируемocть, локальнaя интегрируемocть, прелокальнaя интегрируемocть возрастающих про\-цессов. Oпциональныe и предсказуемыe проекции процессов скачков возрастающих процессов. 12. Дуальные проекции и мартингалы. Mартингальнaя характеризация предсказуемыx возрастающих процессов. 13. Mартингальнaя характеризация предсказуемыx и тотально недостижи\-мыx марковскиx моментoв. 14. Теорема Дуба. Пoтенциалы и порождающие их интегрируемыe возраста\-ющиe процессы. Теорема Дуба--Мейера.
Добавил в систему: Кабанов Юрий Михайлович

	ИСТИНА	Войти в систему Регистрация
	ФНКЦ РР
	Главная Поиск Статистика О проекте Помощь

ИСТИНА

ФНКЦ РР

Общая теория процессовучебный курс

Преподавание курса