|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Проблема Штейнера: подход геометрической теории мерыучебный курс
- Авторы: Иванов Александр Олегович, Тужилин А.А.
- Год создания: 2017
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Описание: Годовой спецкурс для студентов младших курсов, а также всех, интересующихся современной геометрией и топологией. Основная цель нашего спецкурса в осеннем семестре – доказать следующую теорему. Теорема. Пусть X – ограниченно компактное метрическое пространство, а M – непустое замкнутое подмножество X. Тогда если существует связное компактное подмножество S ⊃ M (континуум) конечной одномерной меры Хаусдорфа, H1(S) < ∞, то среди всех континуумов G ⊃ M имеется G0, для которого H1(G0) = inf H1(G). Эта теорема, вместе с дальнейшим списком свойств минимального континуума G0, является решением на языке метрической геометрии классической проблемы Штейнера, в которой требуется научиться строить кратчайшую сеть дорог, соединяющую заданный набор конечных пунктов, например, городов. Чем интересна эта теорема? Во-первых, она является важным частным случаем теорем существования решения задач геометрического вариационного исчисления, изучающего оптимальные "поверхности", затягивающие те или иные границы. Во-вторых, при доказательстве этой теоремы мы познакомим слушателей как с началами геометрической теории меры, так и с теорией расстояний Хаусдорфа и Громова−Хаусдорфа: первое характеризует взаимное расположение подмножеств метрического пространство, а второе – "сходство" двух различных метрических пространств. Отметим, что мера и расстояние Хаусдорфа, хоть и представляют на первый взгляд объекты существенно разной природы, на самом деле оказываются тесно связанными, о чем мы расскажем, доказав знаменитую теорему Голаба (Gołąb) о полунепрерывности одномерной меры Хаусдорфа по отношению к топологии, заданной расстоянием Хаусдорфа. Классические доказательства этой теоремы достаточно сложны и используют разнообразную технику геометрической теории меры. Мы же приведем "элементарное" доказательство, предложенное Альберти (Alberti) и Оттолини (Ottolini) и опубликованное в 2017 году.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович
Преподавание курса
- 4 сентября 2017 - 28 мая 2018 Тужилин Алексей Августинович
- МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет
- обязательная, по выбору (спецкурс), лекции, 68 часов
- Авторы: Иванов Александр Олегович, Тужилин А.А.