|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Проблема Ферма-Штейнера в пространстве компактных подмножеств евклидовой плоскостидипломная работа (Магистр)
- Научный руководитель: Тужилин А.А.
- Автор: Галстян А.Х.
- Тип: Магистр
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2019
- Аннотация: В дипломной работе А.Х.Галстяна изучается геометрия компактных подмножеств евклидовой плоскости (компактов Штейнера), находящихся на минимальном суммарном расстоянии Хаусдорфа от заданного конечного набора таких компактов (называемых граничными). В качестве первого шага, автор рассматривает случай, когда граничные компакты являются конечными множествами. Развивая теорию, созданную ранее Ивановым, Тропиным и Тужилиным, Галстян получает целый ряд любопытных результатов. Если множество компактов Штейнера для данной границы упорядочить по включению, то, как известно, всегда существует и единственен максимальный компакт, причем он представляет собой пересечение замкнутых окрестностей граничных компактов, где в качестве радиусов окрестностей выбираются расстояния Хаусдорфа между компактом Штейнера и соответствующими граничными компактами. Что касается минимальных компактов, то их геометрия изучена плохо. Опираясь на идеи из работы Иванова, Николаевой и Тужилина, Галстян получил более точную оценку на максимальное число точек в минимальном компакте Штейнера. Естественно, полученная оценка важна для численного моделирования. Но особенно важной она оказывается для теоретического разбора конкретных примеров, что наглядно демонстрируется заключительной частью работы. Далее, Галстян сформулировал и доказал критерий минимальности компакта, содержащегося в некотором максимальном компакте Штейнера. Используя развитую технику, Галстян переходит к изучению того, как связана геометрия граничных компактов и максимального компакта Штейнера. Вводится понятие множества сцепки, играющего важную роль в прояснении структуры компактов Штейнера. В частности, доказывается любопытный факт: каждый компакт Штейнера пересекает границу максимального компакта. Еще одно замечательное утверждение – критерий единственности минимального компакта. Также Галстян изучает ситуацию, в которой максимальный компакт является связным. Применяя развитую технику, Галстян получает оригинальное доказательство того, что в случае трех граничных компактов, каждый из которых представляет собой пару последовательных вершин правильного шестиугольника (этот случай был ранее исследован в работе Иванова, Тропина и Тужилина), минимальный компакт состоит из двух точек. Наконец, искусно применяя вариационные соображения, Галстян доводит рассматриваемую задачу до ответа.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович