Аннотация:Работа посвящена исследованию условий второго порядка в двух постановках задачи о брахистохроне: классической задаче о брахистохроне и задаче о брахистохроне с квадратичным сопротивлением. Для исследования условия второго порядка в задаче о брахистохроне с трением вводится взаимная к ней задача. Условие Якоби в задаче о брахистохроне с квадратичным трением исследовалось на основе теоремы Дмитрука.