|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий дипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Тужилин А.А.
- Автор: Чикин В.М.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2017
- Аннотация: Изучаются минимальные деревья Штейнера (кратчайшие деревья) в малых окрестностях точек римановых многообразий. Интуитивно очевидно, что ситуация должна быть практически такой же, как и в случае евклидова пространства той же размерности, что и у многообразия. Чтобы строго это доказать, можно продеформировать метрику многообразия в окрестности точки в евклидову метрику и извлечь результат из соображений непрерывности. На римановых многообразиях расстояние между данными точками определяется как точная нижняя грань длин кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки, причем длина кривой вычисляется с помощью римановой метрики. Деформацию расстояния в этом случае естественно задавать через непрерывную деформацию метрического тензора, что приводит к непрерывному изменению длин кривых. Тем самым, мы приходим к следующей задаче: рассмотрим множество, на котором задана внутренняя метрика (расстояние между точками равно точной нижней грани длин непрерывных кривых, соединяющих эти точки). Будем деформировать эту метрику в классе внутренних метрик, причем предположим, что длины кривых меняются непрерывно. Верно ли, что тогда и расстояние между точками будет меняться непрерывно? Оказывается, ответ отрицательный. В работе приводится соответствующий пример. Чтобы исправить ситуацию, нужен некоторый аналог равномерности. В работе вводится условие (*), которое, как доказывается, является достаточным для непрерывности функции расстояния. Более того, оказывается, что для полных римановых многообразий условие (*) всегда выполняется. Из этого фундаментального результата выводится ряд следствий. (1) Показывается, что для каждой точки P риманова многообразия можно найти столь малую окрестность U начала координат касательного пространства в точке P, что для каждого конечного подмножества M окрестности U топологии кратчайших деревьев, соединяющих образ M при экспоненциальном отображении, содержатся среди топологий кратчайших деревьев, соединяющих M (в касательном пространстве рассматривается соответствующая евклидова метрика). В частности, введено понятие малого правильного многоугольника на двумерном римановом многообразии, и полностью описаны кратчайшие сети, соединяющие вершины таких многоугольников. (2) Получено полное описание типов кратчайших деревьев, лежащих в достаточно малых шаровых окрестностях точек полных римановых многообразий постоянной секционной кривизны (здесь радиус окрестности можно выбрать независимо от точки). (3) Еще одна серия новых результатов касается обобщения известной теоремы о минимальных деревьях Штейнера на евклидовой плоскости, утверждающей, что такие деревья всегда лежат в выпуклой оболочке своей границы. В работе показывается, что аналогичный результат имеет место для достаточно малых окрестностей двумерных римановых многообразий. Более общо, это имеет место в таких окрестностях, которые гомеоморфны евклидовой плоскости и в которых любые две точки соединяются единственной кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между ее концами. Последнее позволяет, например, применить результат о выпуклой оболочке к границам, лежащим в открытых двумерных полусферах, а также к произвольным границам на плоскости Лобачевского.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович