|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Многочлены чебышевского типа в предельных неравенствах Пуанкарекурсовая работа (Специалист)
- Научный руководитель: Шейпак И.А.
- Автор: Казимиров Д.Д.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Кафедра: Кафедра теории функций и функционального анализа
- Год защиты: 2021
- Курс: 3
- Аннотация: В курсовой работе Д.\,Д.\,Казимиров рассмотрел предельные оценочные функции $A_{n,k,p}$ в неравенствах вида $$ |f(a)|\leqslant A_{n,k,p}(a)\|f^{(n)}\|_{L_p[-1;1]} $$ для функций $f\in\mathring{W}^n_p[-1;1]$ при $p\to 1$. Если рассмотреть $g_n$ --- элемент пространства $L_p[-1;1]$, который задает непрерывный функционал $f\mapsto f(a)$, то справедливы оценки $$ |f(a)|=\left|\int_{-1}^1 f^{(n)}(x)g_n(x)\,dx\right|\leqslant \|f^{(n)}\|_{L_p}\cdot \|g_n\|_{L_p'}б\quad \frac1p+\frac{1}{p'}=1. $$ Равенство достигается, если функция $f^{(n)}$ пропорциональна $|g_n(x)|^{p'}\sign g_n$. Ранее был известен вид сплайнов $g_n$ при $n=1,2,3$ и $p>1$. Более того, показано, что экстремальная функция обладает симметричностью, откуда в частности следует справедливость соотношения $\sup_{a\in(0;1)} |f(a)|=f(0)$. При предельном переходе $p\to 1$ ($p'\to\infty$) возникает следующая задача: для каждого натурального $n$ найти полином $P_n$ степени $n-2$ и содержащий только слагаемые, четность степеней которых совпадает с четностью числа $(n-2)$. При этом для функции $q_n(x):=x^{n-1}$ величина $$ \max_{[0;1]}|q_n(x)-P_n(x)| $$ должна быть наименьшей.
- Добавил в систему: Шейпак Игорь Анатольевич