УДК 535.317:621.378
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САМОВОСПРОИЗВОДЯЩИХСЯ ДИФФРАКТАЛОВ
П.В. Короленко, Е.В. Поздеева, О.В. Саенко
(кафедра оптики и спектроскопии)

Исследование процессов дифракционного преобразования амплитудно-фазовой структуры светового излучения с изначально стохастическими возмущениями волнового фронта составляет важный раздел статистической оптики [1,2]. В фундаментальной работе М. Берри [3] был, по-видимому, впервые рассмотрен новый аспект теории дифракции случайных полей, относящийся к волнам, имеющим в начальной плоскости фрактальное распределение фазы световых колебаний при однородном распределении интенсивности. Такие волны М. Берри назвал диффракталами. 
В данной работе исследованы характеристики диффракталов, которые имеют в поперечном сечении периодическую структуру поля. Такие диффракталы обладают в силу эффекта Тальбо [4] свойством самовоспроизведения первоначального амплитудно-фазового распределения. Отметим, что в последнее время интерес к изучению особенностей проявления эффекта Тальбо в разнообразных световых структурах и оптических системах заметно вырос. Это связано с все более широким его использованием в лазерных и метрологических устройствах [5-8]. Появились данные [9], что волны с самовоспроизводящейся структурой могут играть важную роль в процессах лазерной биостимуляции. 
Все приведенные ниже результаты расчетов относятся к одномерным возмущениям волнового фронта. При моделировании начального распределения фазы Ф_k диффрактала использовалась функция Вейерштрасса [10]
.		(1)
Здесь _0 – стандартное отклонение фазы световых колебаний в начальной плоскости от фазы плоской волны, b, s – масштабирующие параметры (при целочисленном значении параметра b функция (1) становится периодической), _n – случайная фаза, равномерно распределенная на интервале [0,2], D – фрактальная размерность задаваемого функцией Вейерштрасса распределения, k – дискретная поперечная координата. Число гармоник в функции (1) равно N=N_2-N_1+1. При проведении расчетов полагалось, что N принимает конечное значение (обычно считалось, что N_1 = 0, N_2 = 20), тем самым формула (1) описывала свойства “физического” диффрактала с плавными изменениями фазы в начальной плоскости. Таким образом, начальное распределение фазы самовоспроизводящегося диффрактала включает элементы регулярности и случайности. Первые обусловлены периодичностью фазового распределения по поперечной координате, вторые – случайным характером изменения фазы в пределах периода. 
Комплексная амплитуда световых колебаний в начальной плоскости задавалась в виде:
	.	(2)
Используя известные выражения для дифракционного преобразования поля волны с синусоидальной модуляцией волнового фронта [2], можно получить для распределения амплитуды на расстоянии на расстоянии z от начальной плоскости следующее выражение:
	
	,	(3)
где . 
При расчете светового поля диффрактала при малых значениях _0 достаточно ограничиться суммированием по индексам p, удовлетворяющим условию |p| < 10. При сильных изначальных флуктуациях фазы диапазон изменения |p| требует значительного расширения. Поэтому для того, чтобы упростить расчеты и одновременно повысить их точность, при анализе сильных флуктуаций использовались представления дробного эффекта Тальбо [11]. Согласно этому эффекту на расстояниях  (z_0 – расстояние самовоспроизведения начальной структуры поля, связанное с ее периодом а и длиной волны  соотношением z_0 = 2а^2/; q = 1,2,…) структура поля представляет собой суперпозицию смещенных относительно друг друга по поперечной координате и сдвинутых по фазе начальных распределений световой волны. Для распределения поля в указанных плоскостях справедливо выражение [11]:
		(4)

В ходе численного моделирования рассчитывались на разных расстояниях z от начальной плоскости распределения интенсивности и фазы диффракталов, отличающихся в начальной плоскости стандартным отклонением фазы _0 и фрактальной размерностью D. По этим распределениям для каждого значения z определялись стандартные отклонения фазы , и интенсивности _I. Одновременно производилась оценка фрактальных размерностей распределения фазы и распределения интенсивности. Эта оценка основывалась на анализе поведения построенного в двойных логарифмических координатах графика зависимости дельта-дисперсии профилей фазы и интенсивности диффрактала от величины  приращения поперечной координаты [12]. Фрактальная размерность D cвязана с тангенсом Т угла наклона линейного участка графика соотношением D = 2 – Т/2. Диапазон изменений приращения поперечной координаты, соответствующий линейному участку графика, определяет величину области скейлинга. 
Результаты расчетов, выполненных для слабых флуктуаций, иллюстрируют рис.1,а,б. На рис. 1,а изображена полученная с помощью функции (1) одна из реализаций распределения фазы в начальной плоскости, соответствующая значениям D = 1.25, _0 = 0.2, b = 3 и s = 0.001. На рис. 1,б для этой реализации приведены данные о величине стандартных отклонений фазы  и интенсивности _I  на различных расстояниях от начальной плоскости, а также данные о фрактальных свойствах распределений фазы и интенсивности. Расстояния измеряются в долях длины самовоспроизведения начальной структуры светового поля z_0. Из рис. 1,б видно, что величины  и _I, испытывая монотонные “противофазные” изменения, самовоспроизводятся с периодом z_0/2. В плоскостях z = z_0/4 + z_0j/2  (j = 0,1,2,...) _I, вдвое превосходит величину . Существенным является тот факт, что формирующиеся при распространении диффрактала пространственные флуктуации интенсивности также приобретают фрактальные признаки, при этом фрактальная размерность распределения интенсивности D_I на разных расстояниях от начальной плоскости оказывается равной фрактальной размерности распределения фазы D , не претерпевающей заметных изменений по сравнению с начальным значением. Исключение составляют расстояния z = z_0/4 + z_0j/2 . На этих расстояниях при максимальных значениях _I волновой фронт становится плоским ( = 0) и фрактальность в распределении фазы исчезает (D = 1). В свою очередь размерность D_I становится равной единице на расстояниях, кратных величине z_0/2, где распределение интенсивности становится однородным. Величина области скейлинга изменений фазы не претерпевала заметных изменений и оставалась, как и в начальной плоскости, равной полупериоду поперечных изменений поля. Величина же области скейлинга в распределении интенсивности претерпевала большие изменения, начиная от исчезающе малых значений вблизи плоскостей z = z_0j/2 и кончая величиной полупериода в плоскостях z = z_0/4 + z_0j/2.
Расчеты, проведенные для других реализаций, отличающихся фазами _n гармоник функции Вейерштрасса (1), показали, что, несмотря на различную форму начального распределения фазы, значения указанных на рис. 1,б параметров оказывались практически неизменными (при числе точек отсчета порядка 10^3 нормированные на средние значения среднеквадратичные отклонения вычисляемых параметров не превышали 0.02). Если же реализации отличались не только случайными фазами _n , но и фрактальной размерностью D, то поведение параметров  и _I сохранялось, а значения D и D_I изменялись, но по-прежнему на разных расстояниях z выполнялось равенство D = D_I = D.
Несколько иной характер имеет преобразование поля диффрактала при сильных начальных флуктуациях фазы. На рис. 2 показано рассчитанное для этого случая с помощью формулы (4) поведение стандартного отклонения интенсивности _I и фрактальной размерности D_I. Приведенные расчетные точки относятся к реализации начального распределения фазы, форма которого совпадает с распределением, показанным на рис. 1,а, но имеет существенно более высокое значение _0 (_0 = 3). Соответствующие параметры для распределения фазы не приводятся, поскольку при сильных флуктуациях это распределение сильно искажено возникающими в процессе распространения диффрактала краевыми дислокациями волнового фронта, характеризуемыми скачками фазы на величину . Из рисунка видно, что в отличие от слабых флуктуаций _I достигает своего максимального значениях на расстояниях, много меньших по сравнению с z_0. На расстояниях же z = z_0/4 + z_0j/2 имеет место промежуточный минимум. По сравнению с _I фрактальная размерность D_I испытывает лишь небольшие изменения вблизи значения, равного D. Общая картина поведения _I и D_I сохранялась и для других реализаций, отличающихся формой начального распределения (с сохранением значений _0  и D). Однако нормированные среднеквадратичные отклонения вычисляемых параметров по сравнению со случаем слабых флуктуаций увеличивались, достигая значения 0.05. Значительно снижается в режиме сильных флуктуаций область скейлинга распределения интенсивности. Так, при _0 = 3 в плоскостях z = z_0/4 + z_0j/2 область скейлинга уменьшается по сравнению со слабыми флуктуациями почти на порядок. 
Для того чтобы установить, какие из приведенных выше характеристик свойственны именно периодическим диффракталам, было проведено численное моделирование свойств диффракталов, не обладающих свойством строгой периодичности. Структура первоначального распределения фазы такого диффрактала приведена на рис. 3,а. Это распределение отличается от приведенного на рис. 1,а только значением параметра b, которое принималось равным b = 2.9. Рис. 3,b характеризует поведение характеристик непериодического диффрактала вдоль продольной координаты z (c учетом малого различия  параметра b у сравниваемых диффракталов продольная координата нормирована на расстояние самовоспроизведения z_0 периодического диффрактала). Видно, что исчезает регулярное самовоспроизведение по оси z величин  и _I, хотя противофазный характер их изменения сохраняется. В поле диффрактала отсутствуют плоскости, где _з или _I обращаются в ноль. Что касается размерностей D и D_I, то они и в этом случае оказываются близкими к величине D. Отметим, что средние значения  и _I при удалении от начальной плоскости, с хорошим приближением описываются стандартными отклонениям интенсивности   и фазы  волны, дифрагировавшей на  случайном экране. Последние, как известно [1], удовлетворяют соотношениям  = _0 и  = (/2)_0.
Отмеченные выше в ходе анализа графиков на рис. 13 закономерности получили подтверждение в ходе моделирования свойств диффракталов с иным набором параметров в начальной плоскости. Тем самым, обобщая все полученные результаты, можно сделать вывод, что статистические характеристики периодических диффракталов, а также их фрактальные свойства самовоспроизводятся по продольной координате z с периодом z_0/2, где z_0 – длина самовоспроизведения начального фазового профиля. В общем случае вдоль продольной координаты имеют место значительные “противофазные” изменения стандартных отклонений фазы и интенсивности. Значительно большей устойчивостью характеризуется поведение фрактальных размерностей распределений фазы и интенсивности. При этом существенным является то, что фрактальные размерности распределений фазы и интенсивности за исключением плоскостей  z = z_0j/4  равны между собой и совпадают с фрактальной размерностью изначального распределения фазы. Последнее свойство не является, однако, атрибутом диффракталов с периодической структурой. Аналогичным свойством обладают непериодические диффракталы, сформированные, в частности, в результате дифракции плоской однородной волны на случайном фрактальном экране.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке научной программы “Университеты России” (проекты №№ УР.01.03.007/1, УР.10.03.007/2)

Литература
1.	Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2: Случайные поля. М.: Наука, 1978, 464 с.
2.	Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. М.: Мир, 1988, 528 с.
3.	Berry M.V. // J.Phys.A: Math. Gen. 1979. V.12, №6, P.781 – 794.
4.	Talbot H.F. // Phil. Mag. 1836. V.9, P. 401.
5.	Марченко В.Г. // Квантовая электроника. 1981. Т.8. №5. С. 1027-1036.
6.	Лиханский В.В., Напартович А.П. // УФН, 1990, Т.160. В.3. С.101 – 142.
7.	Кандидов В.П., Левакова И.Г. // Квантовая электроника, 1995, Т.22. №1. С. 93 - 94.
8.	Коряковский А.С., Марченко В.М. // 1981. ЖТФ. Т. 51. В.7. С.1432 - 1438.
9.	Саляев Р.К., Дударева В.Л., Ланкевич С.В. и др. // Медицинская физика. 2001. №11. С.34.
10.	Jaggard D.L., Kim Y. // J. Opt. Soc. Am. 1987, V.4. №6, P. 1055 – 1061.
11.	Westerholm J., Turunen J., Huttunen J.// J. Opt. Soc. Am. A, 1994, V.11. №4, P. 1283-1290.
12.	Кроневер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000, 352 с.

Подписи к рисункам

Рис.1. Распределение фазы в начальной плоскости периодического диффрактала (а); зависимость стандартных отклонений , _I и фрактальных размерностей D, D_I от нормированной продольной координаты z/z_0 (б) (случай слабых флуктуаций). 
Закрашенные квадраты – , незакрашенные квадраты – _I , незакрашенные ромбы – D, закрашенные ромбы – D_I.
Рис.2. Зависимость стандартного отклонения _I и фрактальной размерности D_I от нормированной продольной координаты z/z_0 (б) (случай сильных флуктуаций). 
Незакрашенные квадраты – _I , закрашенные ромбы – D_I.
Рис.3. Распределение фазы в начальной плоскости непериодического диффрактала (а); зависимость стандартных отклонений , _I и фрактальных размерностей D, D_I от нормированной продольной координаты z/z_0 (б) (случай слабых флуктуаций). 
Закрашенные квадраты – , незакрашенные квадраты – _I , незакрашенные ромбы – D, закрашенные ромбы – D_I.

РЕФЕРАТ
статьи П.В. Короленко, Е.В. Поздеевой, О.В. Саенко «СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САМОВОСПРОИЗВОДЯЩИХСЯ ДИФФРАКТАЛОВ»

Теоретически рассмотрено проявление эффекта Тальбо при распространении периодических диффракталов – волн, изначально имеющих однородное распределение амплитуды и фрактальное распределение фазы. Показано, что стандартные отклонения фазы и интенсивности по поперечным координатам претерпевают вдоль направления распространения диффрактала глубокую периодическую модуляцию. В то же время фрактальные размерности стохастических поперечных распределений фазы и интенсивности не испытывают существенных изменений, оставаясь равными фрактальной размерности начального распределения фазы. 

Название статьи и фамилии авторов на английском языке:
“Statistical characteristics of selfimaging diffractals”
P.V. Korolenko, E.V. Pozdeeva, O.V. Saenko