ИСТИНА

В проекте рассматриваются квазилинейные функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) диффузии с запаздыванием, возникающие при моделировании нелинейных оптических систем с нелокальной по времени и пространству обратной связью. Такие системы используются для решения важных прикладных задач обработки информации и структурообразования светового поля. Предлагается новый подход к исследованию двумерного структурообразования в ФДУ диффузии с запаздыванием в тонком кольце с граничными условиями Неймана и косой производной, основанный на построении нормальной формы для предельного пространственно-одномерного ФДУ на окружности, конструктивном вычислении коэффициентов нормальной формы и ее анализе. Такой способ редукции двумерной задачи к одномерной впервые будет применен к задаче с запаздыванием для аналитического описания и исследования устойчивости вращающихся/стоячих волн при условиях Неймана и спиральных волн при условиях с косой производной. Исследование спектральной сходимости двумерных краевых задач рассматриваемого типа позволит предсказывать условия возбуждения и основные параметры пространственно-временной динамики двумерных волн на основе конструктивного анализа одномерной предельной задачи. Предлагаемая в проекте модификация алгоритма конечного преобразования Ханкеля составит ядро эффективного вычислительного алгоритма для решения двумерной задачи в кольце и верификации предлагаемого метода понижения размерности.

We consider quasilinear diffusion functional differential equations (FDE) that arise from the modelling of nonlinear optical systems with spatio-temporal nonlocal feedback. Such systems are used to solve various important problems in information processing and to form patterns in the light field. We propose a new approach to study two-dimensional pattern formation in delayed diffusion FDEs in a thin annulus with Neumann and oblique derivative boundary conditions. The approach relies on constructing of normal form for the limit spatially one-dimensional FDE on a circle, evaluating the normal form coefficients in closed form and analysing the normal form. This will be the first time that a reduction of a two-dimensional problem to a one-dimensional one is applied to a delayed equation in order to analytically describe and investigate stability of rotating/standing waves in case of Neumann boundary conditions and spiral waves in case of oblique derivative. The study of spectral convergence of two-dimensional boundary value problems of this kind will make it possible to forecast for two-dimensional waves the excitation conditions and the main parameters of their spatio-temporal dynamics based on the constructive analysis of the limit one-dimensional problem. We also propose a modification of the finite Hankel transform algorithm that will be the core of the efficient computational algorithm used to solve the two-dimensional problem in an annulus and to verify the dimension reduction approach.

На основе аналитического исследования найдены параметры модели, обеспечивающие возбуждение вращающихся/стоячих волн в тонком кольце с краевыми условиями Неймана. Реализован численный метод и с его помощью проведено моделирование с подобранными параметрами. По результатам численно-аналитического исследования в журнал подана статья и сделаны выступления на конференциях.

Разработано аналитическое описание вращающихся и стоячих волн для квазилинейных ФДУ диффузии с запаздыванием в пространственно-одномерном случае окружности в условиях SO(2) и O(2) симметрии, допускающее конструктивное описание нормальной формы с получением явных формул для ее коэффициентов и исследование ее фазового портрета. Полученное описание охватывает пространственно-одномерные модели нелинейных оптических систем, учитывающих запаздывание, интерференцию с поворотом пространственной переменной, а также дифракцию в контуре нелокальной обратной связи.