ИСТИНА

В последние годы развитие маломерной топологии в значительной степени было обусловлено распространением как новых, имеющих комбинаторную природу методов (скейн-соотношения, инварианты конечного порядка, гомологии узлов), так и геометрических методов (гомологии Хегора-Флоера). Сочетание этих двух подходов оказалось чрезвычайно плодотворным (примером такого синтеза является доказательство того, что гомологии Хованова распознают тривиальный узел). В рамках данной тенденции находятся, с одной стороны, предлагаемые авторским коллективом комбинаторный подход к вопросам теории узлов (теория четностей, граф-зацепления) и теоретико-узловой подход к вопросам теории групп и метод оснащения узлов согласованными с ними комбинаторными структурами (теория четностей), с другой - методы вычисления объемов многогранников, характеристических для конфигураций гиперплоскостей.

В рамках проекта рассматривались дифференциальные уравнения на конфигурационных пространствах упорядоченных наборов точек на сфере Римана. В первую очередь изучались нелинейные дифференциальные уравнения Шлезингера, которые описывают изомонодромную деформацию некоторой начальной фуксовой система с заданной начальной конфигурацией особых точек. Были найдены достаточные условия на коэффициенты начальной фуксовой системы, при которых уравнения Шлезингера равносильны системам линейных дифференциальных уравнений. Для малых порядков (p =2, 3) начальной фуксовой системы найдены интегральные представления решений полученных линейных вариантов уравнения Шлезингера. Эти результаты опубликованы в работах [24, 32]. На конфигурационном пространстве Манина-Шехтмана U(k+2, k) для систем линейных дифференциальных уравнений Коно изучены редукции к фуксовым системам на сфере Римана [23] и охарактеризованы фундаментальные группы U(k+2, k) как свободные группы. Предложен новый подход к вычислению объемов сферических октаэдров с mmm- и 2|m-симметриями; получены явные формулы объемов октаэдров с mmm- и 2|m-симметриями в гиперболическом пространстве в терминах двугранных углов; доказано достаточное условие минимальности компоненты 2-зацепления (с нулевым коэффициентом) относительно поверхности Зейферта другой (расслоенной) компоненты.