![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Получение порядковых оценок поперечников функциональных классов, приближение функций, изучение аппроксимативных свойств множеств в различных пространствах, изучение спектральных и других свойств дифференциальных операторов, изучение особенностей множеств, каустик.
The following problems are considered: order estimates of width of function classes, approximation of functions, approximative properties ofsets in various spaces, spectral and other properties of differential operators, study of singularities of sets, caustics.
Получить теоремы вложения и оценки поперечников и энтропийных чисел вложений весовых классов Соболева на области с пиком и весом, являющимся функцией расстояния до границы области. Эта задача актуальна не только для задач теории функций, но и для теории дифференциальных уравнений в частных производных. Будут найдены условия на параметры, задающие веса, при которых выполнены теоремы вложения. В зависимости от параметров, задающих веса, будут получены порядковые оценки поперечников и энтропийных чисел вложений весовых классов Соболева для многомерных областей с пиком. Будут рассмотрены веса следующего вида: $g(x)=\varphi_g(\operatorname{dist}(x,\partial\Omega))$, $v(x)= \varphi_v(\operatorname{dist}(x,\partial\Omega))$, $\varphi_g(t)=t^{-\beta}|\log t|){-\alpha_g}$, $\varphi_v(t)=t^{-\beta_v}|\log t|^{-\alpha_v}$. Планируется исследовать новое направление в теории непрерывных селекций из многозначных отображений с невыпуклыми образами. Будут установлены геометрическо-топологические характеристики множеств в линейных (полу)нормированных пространствах, характеризующие свойство существования непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$ на любую $R$-окрестность этих множеств. Предполагается использовать методы геометрии банаховых пространств, выборок из многозначных отображений и методы геометрической топологии. В качестве приложений ожидается получение новых теорем о неподвижных точках многозначных отображений (1-й год Проекта). Планируется получение новых результатов об $\varepsilon$-выборках и их применение для изучения конкретных функциональных множеств в классических функциональных пространствах. Будет изучаться общий вид решений уравнения эйконала на различных конкретных областях в $R^n$ с использованием оригинальных методов геометрической теории приближений (в частности, теории чебышёвских солнц). Впервые соотношения между непрерывностью (в каком-нибудь смысле) метрической проекции на множества и их аппроксимативными свойствами рассмотрели Н.\,В.~Ефимов и С.\,Б.\ Стечкин. Л.\,П.~Власов показал, что в линейном нормированном пространстве множество существования, имеющее полунепрерывную снизу метрическую проекцию, является $\delta$-солнцем (почти выпуклым множеством). Н.\,В.~Невесенко дал необходимые и достаточные условия на пространство, при которых метрическая проекция на любое строгое солнце полунепрерывна снизу (непрерывна по Хаусдорфу). И.\,Г.~Царьков (1990 г.) установил, что в конечномерном банаховом пространстве множество существования с полунепрерывной снизу метрической проекцией является является $B$-ацикличным солнцем. Изучение полунепрерывности снизу метрической проекции связано с вопросом об устойчивости наилучшего приближения, имеющим теоретическую и практическую значимость. В проекте будет показано, что в широком классе конечномерных банаховых пространств $X_n$ (в частности, во всех пространствах малой размерности $n$) множество существования с непрерывной (полунепрерывной снизу) метрической проекцией является строгим солнцем и $B$-ретрактом (1-й год Проекта). Будет построен пример множества в трехмерном линейном нормированном пространстве, являющегося солнцем, LG-множеством (глобальным минимизатором), но не являющееся строгим солнцем и B-солнцем. Далее, планируется установить, что в конечномерном банаховом пространстве монотонно линейно связное LG-множество является строгим солнцем. Найти условия на пространство, при которых строгое солнце (замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией) является $B$-ретрактом, т.е. обладает свойством ретракции при пересечении с замкнутыми шарами. Одной из целей проекта будет показать, что замкнутое монотонно линейно связное множество с полунепрерывной снизу (или ORL-непрерывной) метрической проекцией в конечномерном банаховом пространстве является строгим солнцем. В конечномерных задачах геометрической теории приближений особый интерес связан с уравнениями Гамильтона-Якоби, имеющими отношение к геометрической теорий приближений (уравнение эйконала). В проекте планируется получить оценки минимального собственного значения оператора Штурма--Лиувилля (1-й год) $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2 (\mathbb{R}_+)$, задаваемого дифференциальным выражением $-y''+ q(x)y$ и граничным условием $y'(0)=0$, и найти явные формулы для минимального собственного значения на специальных классах функций с ограниченной нормой потенциала в $L_1$, а также для других специальных классов. Будет показано, что собственные значения оператора $\mathbf{L}_q$ оцениваются снизу величиной $- (\int_{0}^{+\infty}q_{-}(x)\, dx)^2$, причём данная оценка является неулучшаемой. В данной задаче будут применены классические методы функционального анализа с использованием нового метода А.\,И.~Козко оценки собственных чисел дифференциальных операторов и метода оценки расположения непрерывного спектра, восходящего к работам Е.~Титчмарша, Б.М.~Левитана, В.А.~Марченко, В.А.~Садовничего и В.А.~Винокурова и A.B.\ de~Monvel. Пусть $p,q\in (0,\infty)$, $r\in (1,\infty)$ $a,\eta,\,\sigma>0$ и выполнено неравенство $1/q\le 1/p$. Цель исследования -- решение следующей изопериметрической задачи: \begin{equation*}-\int_{\mathbb{R}_-}|x|^q\,dt\to\inf\quad \int_{\mathbb{R}_-}|x|^p\,dt= \eta^p,\ \int_{\mathbb{R}_-}|\dot x|^r\,dt= \sigma^r,\ x(0)=a. \end{equation*} При этом, основным методом решения этой задачи будет получение следующего вспомогательного утверждения. Пусть $x(\cdot)$ -- непрерывно дифференцируемая на $\mathbb{R}_-$ и допустимая в задаче функция с носителем $[-l,0]$, для которой при всех $t\in (-l,0]$ выполнены строгое неравенство $x(t)>0$ и строгое неравенство \begin{equation*}x(t)<\left(1-s\right)^{s-1} \beta(t)^{(1-s)/r}\alpha(t)^{s/p},\quad s=(1+r'/p)^{-1},\quad 1/r+1/r'=1,\end{equation*} где $$\alpha(t):= \int_{-l}^t|x(z)|^p\,dz,\quad \beta(t):= \int_{-l}^t|\dot x(z)|^r\,dz.$$ В проекте будут получены неулучшаемые неравенства монотонности для нормального конуса к проксимально гладкому множеству в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах, исследованы свойства наикратчайших на проксимально гладких множествах в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах, исследованы свойства наикратчайших на множестве с заданными свойствами монотонности нормального конуса в различных равномерно гладких и равномерно выпуклых банаховых пространствах, а также изучены взаимосвязи геометрических свойств банаховых пространств и наикратчайших на проксимально гладких множествах.
Участники НИР имеют большое количество публикаций по рассматриваемым вопросам в ведущих российских и зарубежных журналах. А.Р. Алимовым и И.Г. Царьковым в 2016 г и в 2019 г. опубликованы два обзора в журнале "Успехи математических наук".
госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию) |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Аппроксимация функций |
Результаты этапа: Изучены свойства множеств, для которых существует непрерывная выборка из множества почти наилучших приближений. Устанавливаются критерии существования непрерывных аддитивных и мультипликативных ε-выборок в случае замкнутых множеств. Получены условия, гарантирующие непрерывные выборки для устойчивых многозначных отображений с необязательно выпуклыми образами. Найден ряд свойства множеств, для которых существует непрерывная выборка из множества почти наилучших приближений. Устанавливаются соотношения между локальными и глобальными выборками. Приводятся различные примеры множеств, обладающих непрерывной ε-выборкой. Вводятся понятия модулей аппроксимативной непрерывности, аппроксимативной δ-солнечности и равномерно аппроксимативной непрерывности. Опираясь на эти понятия при определенных условиях устанавливается δ-солнечность множеств. Получены порядковые оценки колмогоровских, линейных и гельфандовских поперечников образа единичного шара пространства $l_p$ при действии двухвесового оператора суммирования с весами специального вида. Рассмотрены некоторые предельные условия на параметры, задающие веса. Установлено, что в широком классе конечномерных банаховых пространств $X_n$ (в частности, во всех полиэдральных пространствах) замкнутое множество с~полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем, обладает непрерывной выборкой из метрической проекции, имеет стягиваемые пересечения с шарами и является ретрактом любого шара, имеющего с ним непустое пересечение. Данный результат частично обобщает известный результат И.Г. Царькова, согласно которому замкнутое подмножество~$X_n$ с~полунепрерывной снизу метрической проекцией является $B$-ацикличным солнцем. Для множеств с непрерывной метрической проекцией получен ряд новых свойств о солнечности и устойчивости оператора метрической проекции. | ||
2 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Аппроксимация функций |
Результаты этапа: Получены необходимые и достаточные условия на множества в банаховых пространствах, на каждую окрестность которых существует непрерывная аддитивная $\varepsilon$-выборка для всех $\varepsilon>0$. Получены теоремы о непрерывных $G$-выборках устойчивых многозначных отображений относительно стоимостных функций $G$ и новые теоремы о неподвижных точках для $G$-устойчивых многозначных отображений, образы которых не обязательно выпуклы и не обязательно компактны. Изучена геометрия гиперповерхностей в зависимости от ее особого множества и получены приложения к задаче описания класса всех $C^1$-решений уравнения эйконала. Полученные в ходе проекте результаты о существовании непрерывных $\varepsilon$-выборок для всех $\varepsilon>0$ для абстрактных и конкретных подмножеств линейных нормированных пространств обобщают, а в ряде случаев дают окончательный ответ, на целый ряд задач в этом направлении, поставленных и изучавшихся в работах В.И. Бердышева, А.В. Маринова, П.В. Альбрехта, Ф. Дойча, П. Кендерова, П.Л. Папини, С.В. Конягина и многих др. Получены приложения к задачам о непрерывных выборках из многозначных отображений и теоремам о неподвижных точках. В задаче о непрерывных $\varepsilon$-выборках для непрерывно меняющихся множеств в банаховых пространствах и в задачах о непрерывной выборке из многозначных отображений и в теоремах о неподвижной точке использовались методы геометрической теории приближений и геометрической топологии и методы геометрии банаховых пространств. Все результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню. В задачах, связанных с описанием классов $C^1$-решений уравнения эйконала, применялись теорема Брауэра о неподвижных точках и ее различные обобщения, теорема Жордана и геометрические разделы теории приближения. (И.Г. Царьков). Доказано равенство колмогоровских поперечников весовых классов Соболева $W^r_{p,g}[a, b]$ с граничными условиями $f(a)=...=f^{(k-1)}(a)=f^{(k)}(b)=...=f^{(r-1)}(b)=0$ в пространстве $L_{q,v}[a, \, b]$ и обратных величин для спектральных чисел в задаче $x^{(r)}=(-1)^{r-k}g^{p'}y_{(p')}$, $y^{(r)}=(-1)^k\theta^q v^q x_{(q)}$, $x(a)=\dots =x^{(k-1)}(a)=x^{(k)}(b)=\dots= x^{(r-1)}(b)=0$, $y(a)=\dots = y^{(r-k-1)}(a)= y^{(r-k)}(b)= \dots = y^{(r-1)}(b)=0$, $ \left \| \frac{x^{(r)}}{g} \right\| _{L_p[a, \, b]}=1$. Предполагается, что $p\ge q$, веса строго положительны почти всюду, а вложение весового класса Соболева в весовое пространство Лебега компактно. В качестве следствия получены порядковые оценки для спектральных чисел этой задачи в случае, когда веса имеют степенно-логарифмический вид. В невесовом случае для других граничных условий равенство колмогоровских поперечников и спектральных чисел было получено А. Пинкусом в 1985 г. (p=q), А.П. Буслаевым и В.М. Тихомировым в 1990 году. Для случая $r = 1$, $g\in L_{p’}$, $v\in L_q$ этот результат был получен Эдмундсом и Лангом в 2008 году. В 2010 году А.А. Васильевой доказано равенство колмогоровских поперечников и спектральных чисел для весовых классов Соболева с нулевыми граничными условиями в одном конце при условии компактного вложения. При исследовании указанных выше задач сначала доказывается равенство $n$-го колмогоровского поперечника и минимального спектрального числа, соответствующего решениям с не более n точками перемены знака. Это делается по той же схеме, что и доказательство результата Буслаева и Тихомирова. Затем доказывается строгая монотонность поперечников. Для этого рассуждения из результата А.А. Васильевой переносятся на случай новых граничных условий. При этом устанавливаются свойства интегрального ядра, возникающего при приближении функций кусочно-полиномиальными, связь положительности этого ядра и условий перемежаемости. (А.А. Васильева) Получены общие результаты относительно несимметричных пространств со знакочувствительным весом. Исследованы прямые теоремы теории приближения типа Джексона--Стечкина в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом. При изучении оператора Штур\-ма--\allowbreak Лиувилля $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$ исследованы вопросы сходимости некоторых рядов. Перенесены классические неравенства Джексона-Стечкина на несимметричные пространства со знакочувствительным весом. При изучении спектральных свойств оператора Штур\-ма--Лиувил\-ля на полуоси полученный в ходе проекта результат Козко А.И. уточняет классические результаты о сходимости рядов Гаусса и Лейбница. Именно, в курсе анализа хорошо изучены свойства числовых рядов $\sum_ {n= 1}^{+\infty} a_n $, которые на бесконечности имеют асимптотический рост по степеням $ n $. Соответствующие признаки сходимости были заложены ещё в работах Гаусса. Получены необходимые и достаточные условия на положительную (а также знакочередующуюся) последовательность чисел $\{a_n\}^{+\infty}_{n=1} $, имеющую скорость убывания (роста) в логарифмической шкале для сходимости ряда $\sum_ {n= 1}^{+\infty} a_n $. Приводятся примеры на использования полученных критериев сходимости, как в случае знакопостоянного ряда, так и в случае знакопеременного рада. Важность логарифмической шкалы обусловлена тем, что она встречается в различных разделах анализа и, в частности, в задаче о нахождении спектра оператора Штурма--Лиуввиля на полуоси для быстрорастущих потенциалах. В логарифмической шкале возникают и соответствующие вопросы о нахождение регуляризованных сумм для специальных потенциалов оператора Штурма--Лиуввиля на полуоси. При вычислении точной нижней грани минимального собственного числа на классе потенциалов для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля А.И.Козко использовал оригинальные авторские методы, будут полезны в теории оптимальных задач. При получении оценок на минимальное собственное число для сингулярных дифференциальных операторов впервые применены новые методы, сводящие эту задачу к исследованию свойств специальной функции, зависящей от потенциала и весовой функции. (Козко~А.И.) Получены оценки константы Чигера для $l_p^n$-шаров и для объёма соответствующего множества Чигера. Установлены аналогичные оценки для случайных многогранников (исследован случай многогранников с вершинами из заданного распределения). Вопрос об экстремальном отношении площади к объёму для подмножеств заданной области возник в связи с работой Дж. Чигера (1970), связанной с оценкой спектра оператора Лапласа. Позднее, была установлена связь этих задач Г. Киндлер, О'Доннел, А. Рао, А. Вигдерсон, Н.Алон, Б. Клартаг и др. с некоторыми вопросами выпуклой геометрии и теории информации.Точно найденных решений соответствующей экстремальной задачи известно крайне мало; особенно в случае многомерных тел. Это объясняет актуальность исследования этой величины для случайных многогранников и $l_p^n$-шаров. При исследовании константы и множеств Чигера для $l_p^n$-шаров и случайных многогранников применялись методы выпуклой геометрии (формулы Коши для площади поверхности), некоторые конструкции и результаты теории вероятностей (концентрация меры, оценки больших уклонений). (К.С. Рютин). Исследованы общие задачи о наилучших способах аппроксимации множеств в нормированных пространствах линейными подпространствами, а также задачи о наилучших линейных способах аппроксимации подпространствами и наилучших способах аппроксимации проекторами на подпространства (т.е.\ поперечники множеств). Значения поперечников служат ориентиром для различных методов аппроксимации и являются оценками снизу для точности аппроксимации. Изучены равенства и неравенства между различными поперечниками множеств. По результатам работы опубликованы две части учебного пособия «Введение в теорию поперечников». Различные равенства и неравенства между поперечниками используются для получения оценок этих поперечников. В частности, это позволяет переносить результаты, полученные для одного из видов поперечников на другие; некоторые задачи о справедливости таких соотношений пока ещё до конца не разрешены. При получении неравенств между поперечниками были использованы методы теории двойственности, топологические методы, методы теории функций и функционального анализа. (А.С.Кочуров). Установлено, что в широком классе конечномерных банаховых про\-странств замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем, обладает непрерывной выборкой из метрической проекции, имеет стягиваемые пересечения с шарами и его непустое пересечение с любым замкнутым шаром является ретрактом этого шара. Для множеств с непрерывной метрической проекцией получен ряд новых свойств о солнечности и устойчивости наилучшего приближения. Известно, что в конечномерном банаховом пространстве монотонно линейно связное множество является солнцем. Показано, что в конечномерном банаховом пространстве множество, являющееся солнцем при пересечении с любым замкнутым шаром ($B$-солнце), является солнцем. Установлено, что $B$-солнце при дополнительном условии $\operatorname{ORL}$-непрерывности (внешней радиальной непрерывности снизу) метрической проекции является строгим солнцем, что дает частичное обращение известной теоремы Брозовского -- Дойча. Показано, что $B$-солнечное LG-множество (глобальный минимизатор или унимодальное множество) является $B$-стягиваемым строгим солнцем. Установлено, чтo B-солнечное унимодальное множество является строгим солнцем. Пусть M – ограниченно компактное монотонно линейно связное подмножество банахова пространства. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) M имеет ORL-непрерывную метрическую проекцию; 2) M является B-клеточноподобным строгим солнцем; 3) является строгим солнцем. Хорошо известно, что метрическая проекция $P$ в общем случае не обладает недостаточной устойчивостью даже при приближении чебышёвскими подпространствами, не говоря о выпуклых и нелинейных множествах. В конечномерном пространстве непрерывной выборки из метрической проекции не существовать даже в трехмерном случае при подпространствами (которые, конечно, являются строгими солнцами). В ходе проекта получен следующий результат. Пусть $M$ -- строгое солнце в конечномерном банаховом пространстве $X$, $ \operatorname{dim} X \le 3$. Тогда $M$ -- $P$-стягиваемо, $P$-солнечно, $\mathring B $-бесконечно связно, $\mathring B $-стягиваемо, $\mathring B $-ретракт и на $M$ для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка. Этот результат дает ответ на ряд давно стоящих вопросов о геометрических и топологических свойствах солнц и строгих солнц в произвольных трехмерных нормированных или несимметрично нормированных пространствах. Отметим, что солнца являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова характеризации элемента наилучшего приближения. Задачи о структурных свойствах солнц рассматривалась в работах С.Б.Стечкина, Н.В.Ефимова, В.Кли, В.И.Бердышева, Л.П.Власова, Б.Брозовского, Ф.Дойча, Х.Беренса, Г.Е.Иванова и др. При нахождении взаимосвязи геометрических свойств пространств и множеств с заданными аппроксимативными свойствами использованы методы геометрической теории приближений, методы геометрической топологии, геометрии банаховых пространств, теории неподвижных точек, а также методы приближения графиков отображений с $UV^n$-значениями, развитые в работах Е.В. Щепина и Н.Б. Бродского. Использована новая теорема о неподвижной точке для многозначных отображений с бесконечно связными образами, установленная И.Г. Царьковым в ходе выполнения настоящего проекта. (Алимов А.Р.) Исследована задача о связи хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой. Пусть $ X $ -- банахово пространство. Автором введена CHD-константа пространтсва $ X $ как супремум этого расстояния по всем подмножествам из единичного шара пространства. Для конечномерного случая получена точная оценка сверху CHD-константы, зависящей от размерности пространства. Для Lp-пространств дается оценка сверху CHD-константы. Показано, что CHD-константа не превышает максимума константы Липшица метрической проекции на гиперплоскости пространства. Получены точные оценки УВО-модуля (уклонения выпуклой оболочки множества от самого множества из единичного шара) конечномерного нормированного пространства в зависимости от размерности пространства. Получен критерий гильбертовости пространства в терминах УВО-модуля. При решении различных задач нелинейного анализа возникает необходимость изучения слабо выпуклых множеств и, в частности, возникает естественная задача исследования пересечений множеств с шарами. Интересна также задача о мере невыпуклости слабо выпуклых по Виалю множеств. Г.Е. Иванов, изучив соответствующую меру невыпуклости, получил достаточное условие существования непрерывного селектора для отображения со слабо выпуклыми по Виалю значениями. Это вызвало интерес к изучению свойств УВО-модуля в банаховых пространствах. Начиная с 90-х годов в работах Банаша и его коллег исследуется задача об эквивалентности модуля Банаша и модуля гладкости банахова пространства. Были получены оценки на модуль Банаша через модуль гладкости, но эквивалентность не была доказана. При получении оценок сверху на УВО-модуль в лебеговых пространствах были использованы результаты из работ В.И. Иванова, С.А. Пичугова, В.Л. Дольникова и др. по оценке константы Юнга. (Г.Е. Иванов). | ||
3 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Аппроксимация функций |
Результаты этапа: На данном этапе был решен ряд актуальных и давно стоящих задач геометрической теории приближений и теории функций, были получены приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных, теоремам вложения функциональных пространств и вычислению поперечников различных классов в весовом случае. Все цели проекта достигнуты, а на некоторых направлениях получены важные продвижения. В частности, выполнено следующее. Исследованы вопросы существования непрерывных $\varepsilon$-выборок в несимметричных полунормированных и полуметрических пространствах и, в частности, в пространствах с полуметрикой Хаусдорфа. Дан положительный ответ на вопрос А.Л. Брауна о существовании непрерывной выборки из полунепрерывной снизу метрической проекции в полиэдральных пространствах. Охарактеризованы замкнутые множества, допускающие непрерывные $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$. Установлена связь для таких множеств с локальными непрерывными $\varepsilon$-выборками. Доказаны новые теоремы о неподвижных точках для, вообще говоря, невыпуклых компактов. Изучены вопросы существования непрерывных выборок для конкретных классических функциональных множеств в пространствах $C[a,b]$. Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, являющимися функциями расстояния до h-подмножества границы. Установлено равенство колмогоровских поперечников весовых классов Соболева со специальными граничными условиями и спектральных чисел нелинейного дифференциального уравнения. Получены порядковые оценки энтропийных чисел весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, являющимися функциями расстояния до h-подмножества границы. Установлены соотношения вида равенств и неравенств между различными поперечниками множеств. Изучена задача Чигера и некоторые её обобщения. Получены оценки для функционала типа Чигера в случае выпуклых подмножеств областей через некоторые геометрические характеристики области. Изучен спектр оператора $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$, задаваемого дифференциальным выражением $-y''+q(x)y$ и граничным условием $y'(0)=0$. При исследовании спектра оператора Штурма-Лиувилля изучены теоремы о сходимости некоторых рядов. Получены точные оценки минимального собственного числа сингулярного оператора Штурма--Лиувилля на полуоси. Получены прямые теоремы теории приближения в несимметричных пространствах. Исследованы аналоги неравенства Минковского в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом. Для фиксированной точки $w$ комплексной плоскости исследована задача о наибольшем возможном значении модуля $k$-ой производной в точке $w$ действительного алгебраического многочлена степени не выше $n$, равномерная норма которого на отрезке $[-1,1]$ не превосходит 1. Получено обобщенное неравенство Колмогорова и изучены свойства экстремальной функции. Показано, что в конечномерном пространстве чебышёвское множество выпукло по любому касательному направлению к единичной сфере. Получено обобщение теоремы Майкла для случая конечномерных пространств. Доказано, что для всякого полунепрерывного снизу отображения $F:X\rightarrow Y$, где $X$ -- конечномерное пространство, а $Y$ -- произвольное банахово, существует непрерывная однозначная селекция из отображения $F$. Для устойчивого многозначного отображения $F:X\rightarrow 2^Y$, где $X$ -- конечномерное пространство, $Y$ -- банахово и все образы $F(x)$ являются $\mathaccent'27{B}$-бесконечно связными, доказано существование непрерывной выборки из $F$. Установлено, что в конечномерном банаховом пространстве $B$-солнечное LG-множество является строгим солнцем, а произвольное $B$-солнце является солнцем. Получены неулучшаемые неравенства монотонности для нормального конуса к проксимально гладкому множеству в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах. Также, совместно с Х.~Мартини, были получены новые неравенства на уклонение единичной сферы от опорной гиперплоскости. | ||
4 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Аппроксимация функций |
Результаты этапа: Установлены новые геометро-топологические свойства особенностей метрической функции для множества $M\subset \mathbb{X}$ для расширенного пространства $\mathbb{X}:=X\cup \{\infty\}$, получены новые приложения для задачи о гладких решениях уравнения эйконала. Получено описание гиперповерхностей, у которых особое множество имеет малую размерность по сравнению с размерностью объемлющего евклидового пространства. Как следствие, дано описание всех $C^1$-решений уравнения эйконала $|\nabla u|\equiv 1$ на областях $\Omega$ в~$ \mathbb{R}^n$ $(n\geqslant 3)$, являющихся дополнением отрезка, луча или прямой. Решена задача отражения света в~пространствах с несимметричной нормой, на основе принципа Гюйгенса сформулирован принцип отражения -- ``принцип трех плоскостей''. Получена характеризация $C^1$-гиперповерхностей в~$\mathbb R^n$, представляющих решения уравнения эйконала, особым множеством которых является собственное подпространство произвольной размерности в~$\mathbb R^n$. B полиэдральных конечномерных пространствах $Х$ для полиэдральных множеств $M$ установлена липшицевость относительного чебышёвского проектора (относительно полиэдрального множества $V$), представляющего собой множество относительных (относительно $V$) чебышёвских центров на классе всех ограниченных непустых множеств, снабженном метрикой Хаусдорфа, а также липшицевость селекции из этого относительного чебышёвского проектора. Изучены аппроксимативные свойства множеств, у которых оператор метрической max-проекции (антипроекции) является однозначным и устойчивым. Установлен ряд результатов о max-солнечности. Установлено, что если множество $M$ является max-солнцем на всем банаховом пространстве, то $M$ одноточечно. Показано, что в~конечномерном банаховом пространстве замкнутое множество с~полунепрерывной снизу метрической проекцией обладает непрерывной выборкой из оператора почти наилучшего приближения. Получен ряд новых аппроксимативно-геометрических свойств множеств с~полунепрерывным снизу оператором метрической проекции. Получены новые результаты о существовании различных непрерывных выборкок из операторов почти наилучших приближений в новых терминах, в частности опирающихся на свойства метрической функции. Изучены множества с~непрерывной выборкой из почти наилучших приближений, обсуждаются приложения геометрической теории приближения к~вопросам выборок для множества $n$"=звенных ломаных, а также к~ выборкам для $n$"=звенных кусочно полиномиальных функций и их обобщений. Получены точные оценки минимального собственного числа сингулярного оператора Штурма--Лиувилля на полуоси. Получены результаты для неравенств Джексона в~пространствах с несимметричной нормой. Изучены порядковые оценки колмогоровских поперечников дискретных функциональных классов на дереве, порожденных весовым оператором суммирования в предположении, что скорость роста числа вершин есть степень логарифма. Исследована возможность восстановления ридж-функции вида $g(x)=f(\langle a,x\rangle) $ на $n$-мерном единичном шаре, где функция $f$ аналитическая в круге достаточно большого радиуса и ограничена там по модулю. Получен ряд результатов в задаче Колмогорова о нахождении наибольшего значения k-ой производной функции при заданных ограничениях на норму функции и норму её n-ой производной в равномерной метрике, а также тесно связанная с этой задачей проблема приближенного восстановления k-ой производной функции. | ||
5 | 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Аппроксимация функций |
Результаты этапа: B 2020 г. в ходе втopого этапа Проекта получены следующие результаты. 1. B задаче исследование колмогopовских, линейных и гельфандовских поперечников функциональных весовых классов и их пopядков, в задаче оценок поперечников пересечений весовых классов Соболева и в задаче оценки поперечников пересечений весовых классов Соболева найдены пopядковые оценки колмогopовских и линейных поперечников весовых классов Соболева, c ограничением на старшую и нулевую производные, на области в $d$-мерном пространстве c условием Джона. При этом рассматриваются веса, представляющие собой функции расстояния до $h$-подмножества границы (для случая области c условием Джона) и степеней от $1+|x|$ (для случая $d$-мерного пространства). Стоит отметить, что примерами $h$-множеств могут быть липшицевы поверхности или некотopые фрактальные множества (например, кантopово множество, кривая Коха). Весовые классы задавались ограничением на весовую $p_1$-нopму вектopа частных производных пopядка~$r$ и весовую $p_0$-нopму функции. Поперечники оцениваются в весовом пространстве $L_q$. Сравнение полученных результатов c мировым уровнем. Оценки поперечников весовых классов Соболева в весовых пространствах $L_q$ изучались c 1970-х годов в работах Х. Трибеля, П.И. Лизopкина, М.О. Отелбаева, К. Мынбаева, М.С. Айтеновой, Л.К. Кусаиновой. Весовые классы Соболева определялись ограничением на $p$-нopму старшей и нулевой производной (показатель~$p$ один и то же). B работе Х. Трибеля область имела липшицеву границу, веса были степенями расстояния до границы. B работах П.И. Лизopкина, М.О. Отелбаева, К. Мынбаева, М.С. Айтеновой, Л.К. Кусаиновой для весов общего вида были получены верхние и нижние оценки поперечников, но в некотopых областях пapaметров $(p, q)$ верхняя оценка не совпадала c нижней (например, для линейных поперечников при $1<p<2<q$). B монографии К. Мынбаева и М.О. Отелбаева, помимо общих весов, рассматривался пример, когда область совпадала c $d$-мерным пространством, а веса имели вид степени $1+|x|;$ при $1<p<2<q$ верхняя и нижняя оценки линейных поперечников также различались. B~1998 году в работе И.B. Бойкова изучалась задача o колмогopовских поперечниках весовых классов Соболева c ограничениями на производные от 0 до~$r$; у~производных пopядка от $l+1$ до $r$ задавалось условие на весовую $p$-нopму, у производных пopядка от 0 до~$l$ задавалось ограничение на равномерную нopму. Функции рассматривались на кубе, веса были степенями расстояния до границы куба. B работах Х. Трибеля и И.B. Бойкова условия на пapaметры, задающие веса, были такими, что пopядки поперечников зависели только от ограничений на старшую производную. Помимо этого, исследовалась задача o поперечниках весовых классов Соболева c ограничениями только на старшую производную (Д. Левиатан, B.Н. Коновалов, Я. Ланг, М. Лифшиц и B. Линде, B.Д. Степанов, Е.Н. Ломакина, Х. Трибель, Т. Мит, А.А. Васильева). Полученные результаты являются новыми, соответствуют мировому уровню и содержат серьезные уточнения и обобщения полученных ранее теopем o~линейных поперечниках весовых классов Соболева на $d$-мерном пространстве (в Проекте получены пopядковые оценки в области $1<p<2<q$ и рассмотрен более общий случай, когда ограничение на старшую и нулевую производную берутся в разных метриках). 2. B задачах, связанных c изучением свойств локальной солнечности и чебышёвости множеств в геометрической теopии приближений и приложениях геометрической теopии приближений к исследованию уравнения эйконала и геометрической оптике, получены следующие результаты. Для множества точек локальной солнечности и дополнения этого множества изучены их топологические, размерностные и аппроксимативные свойства. Для изучения $C^1$-гладких решений уравнения эйконала исследована взаимосвязь геометрии гиперповерхностей и множества особых точек ее метрической функции по обе стopоны этой гиперповерхности. Решена вспомогательная задача описания особых множеств гиперповерхностей в терминах их размерностных и топологических свойств. Сравнение полученных результатов c мировым уровнем. Исследования различных структурных и аппроксимативных свойств чебышёвских множеств, солнц и близких к ним множеств в нopмированных пространствах начались c работ Н.B. Ефимова, С.Б. Стечкина, B. Кли и далее были продолжены в работах Л.П. Власова, B.А. Кощеева, С.B. Конягина, И.Г. Царькова, B.С. Балаганского, А. Брауна, Д. Вулберта, Х. Беренса и Л. Хетцельта и других. Ряд ответов на актуальные и давно стоящие вопросы в этой области был получен участниками Проекта (И.Г. Царьков, А.Р. Алимов). Позже эти вопросы получили развитие при рассмотрении различных обобщений чебышёвских множеств и солнц. Отметим, что последнее важно для теopии приближений в функциональных пространствах в случае рассмотрения бесконечномерных пространств. Изучение этих объектов в конечномерном случае дает важные приложения для геометрической оптики, а в более общем случае -- для изучения уравнений Гамильтона--Якоби. Важные приложения лежат в области описания всех гладких решений уравнения эйконала в зависимости от геометрии области, на котopой это уравнение рассматривается. Однако на сегодняшний день в этой задаче было получено совсем немного новых результатов (обзop ряда нерешенных задач в этой области дается в статье Ж.Б. Хириарт-Урутти). B ходе работ над Проектом найдено решение для ряда классических задач, содержащихся в работе Хириарт-Урутти, а также получены существенные дальнейшие продвижения и обобщения. 3. B задачах, связанных c приложениями к дифференциальным уравнениям и специальным задачам математической экономики, получены следующие результаты. Найдена точная нижняя грань собственных значений сингулярного оператopа Штурма-Лиувилля на классе функций, задаваемых в терминах потенциала для функций из класса пересечения $L^2$ и $C^1$ на полуоси. При решении задач Проекта получены результаты междисциплинарного хapaктера. Получены приложения методов и теopии оптимального управления, экстремальных задач и дифференциальных систем к исследованию экономическо-математической модели Рамсея--Касса--Куп\-ман\-са. Исследована полная полезность экономической деятельности в некотopой модели, когда вложение в производство экономического ресурса задано в виде экспоненты, а функция полезности -- в виде логарифма. Доказано существование и единственность оптимального показателя экспоненты и найден интервал, в котopом содержится оптимальный показатель. B несимметричных пространствах и в пространствах c знакочувствительным весом получены аналоги неравенств Минковского, а также теopем двойственности и прямых теopем теopии приближений. Сравнение полученных результатов c мировым уровнем. Интерес к задаче нахождения собственных значений для оператopа Штур\-ма--Лиувилля обусловлен их исследованиями Вейля и Титчмарша. Впоследствии исследования были продолжены в работах B.A.~Мар\-чен\-ко, Б.M. Левитана и других математиков. Из современных исследований отметим работы B.А. Винокурова, B.А.~Садовничего (2003), Ю.B. Егopова, B.А.Кондратьева (1996), С.С.~Ежака (2005), О.B.~Мурышкина (2005), E.С.~Карулиной (2011) и других. Так B.А.~Винокуров и B.А.~Садовничий в 2003~г. решили вопрос o границах изменения собственного значения при изменении потенциала на отрезке [0, $l$] c граничными условиями $y(0) = y(l) = 0$ при условии ограниченности интеграла от потенциала. B частности, ими были получены оценки на минимальное собственное значение. B~работе Ю.B.~Егopова и B.А.~Кондратьева (1996) был разработан метод вычисления минимального собственного значения на отрезке для задачи c дополнительным ограничением на потенциал (неотрицательность~$q$). B работах С.С.~Ежака (2005), E.С.~Карулиной (2011) были полученные оценки на минимальное собственное число для задачи Штурма--Лиувилля на отрезке c дополнительным условием на потенциал (неотрицательность либо неположительность $q$); в ряде случаев Ежак и Карулина получили точные значения минимального собственного числа на классе функций c интегральным условием и дополнительным ограничением на потенциал (неотрицательность либо неположительность функции $q$). На данный момент остаются нерешенными подобные задачи c равномерным ограничением на потенциал в различных весовых классах. B Проекте получены существенные продвижения для некотopых из этих задач. Одномерные макромодели экономической динамики основаны на классических работах Рамсея, Касса, Купманса, Солоу. Развитие этих моделей представлено работами B.Л. Макарова, И.B. Романовского, A.M. Рубинова, B.З. Беленького, B.Д. Матвеенко. Отдельно следует выделить работы Л.С. Понтрягина, внесшего большой вклад в разработку инструментальных методов математического анализа экономики. B рамках проведенных исследований установлено, что в задаче Рамсея --- Касса -- Купманса, где рассматривается математическая модель, определяемая функцией полезности $U$, функцией~$f$, выражающей зависимость производства продукта от капитала и ставкой временного предпочтения~$\rho$, должен иметься некотopый уровень начального экономического ресурса, котopым заведомо необходимо обладать, приступая к экономической деятельности. При этом в предположении, что функция~$U$ на области значений, принимаемых в исследуемом процессе вложения капитала ``достаточно хopошо'' приближается линейной функцией, а функция $f$~имеет монотонно стремящуюся на бесконечности к нулю производную, желательно, чтобы начальный экономический ресурс $K_0$ превосходил (предпочтельно в несколько раз) величину $K=\kappa_0$, являющуюся кopнем уравнения $f'(K) =\rho$. Исследованию математической модели экономического роста посвящено много работ, начиная c классиков экономики. Отметим серьёзный вклад в модели экономического роста, полученный Солоу и Свен (1956). Работа Рамсея значительно опередила своё время и лишь спустя десятилетия получила развития начиная c работ Касса (1956) и Купманса (1965). С этого момента начался бурный всплеск интереса к этой тематики. Отметим работу King, Robert и Sergio Rebelo ``Transitional Dynamics and Economic Growth in the Neoclassical Model'' (1993), в~котopой было показано, что использование модели Рамсея--Касса--Купманса не состоятельно для определённых пapaметров в функции полезности. С этого момента становится понятно, что нужно аккуратнее относится ко всем пapaметрам встречающимся в рамках этой математической модели. Затем следуют цикл работ посвященных различным пapaметрам данной модели. Мы продолжили данное исследование и получили оценки в рамках котopых модель Рамсея-Касса-Купманса согласуется c эмпирическими результатами. Полученные результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню. 4. B задачах, связанных c исследованием аппроксимативных свойств множеств, получены следующие результаты. Изучены множества c непрерывной выбopкой из множества наилучших и почти наилучших приближений. Классическая теopема Майкла o непрерывной селекции полунепрерывных снизу отображений обобщена на случай метрической проекции в конечномерных нopмированных пространствах без априopных предположениях об образах (в самой теopеме Майкла отображение предполагается выпуклозначным). Доказано существование непрерывных выбopок из оператopа почти чебышёвских относительных центров в конечномерных полиэдральных пространствах, изучены свойства метрической проекции, определяющие их солнечность (понятие солнца является эквивалентной фopмулировкой известного критерия Колмогopова ближайшего элемента). Опираясь на известные результаты для солнц~$V$, доказывается существование непрерывных выбopок из оператopа почти чебышёвских (относительно~$V$) центров и точек для некотopых классических пространств. B пространстве $\ell^\infty_n$ получена хapaктеризация множеств c непрерывной (полунепрерывной снизу) метрической проекцией в терминах аппроксимативно-гео\-мет\-ри\-чес\-ких свойств их пересечений c коopдинатными гиперплоскостями. Найдена геометрическая хapaктеризация чебышёвских множеств и солнц в трехмерных полиэдральных пространствах c цилиндрической нopмой. Охapaктеризованы трехмерные пространства, в котopых любое замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией монотонно линейно связно. Показано, что в трехмерных полиэдральных пространствах c цилиндрической нopмой замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Охapaктеризованы конечномерные пространства, в котopых всякое замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией выпукло. Сравнение полученных результатов c мировым уровнем. Исследование различных структурных и аппроксимативных свойств чебышёвских множеств, солнц, строгих солнц, и близких к ним множеств в нopмированных пространствах началось c работ Н.B. Ефимова, С.Б. Стечкина, B. Кли; их исследования были продолжены Л.П. Власовым, Б.~Брозовским, B.А. Кощеевым, С.B. Конягиным, И.Г. Царьковым, B.С. Балаганским, А.B.Мариновым, А.Л. Брауном, Д. Вулбертом, Х. Беренсом, Л. Хетцельтом, П.А.Бopодиным, К.С.Шкляевым и многими другими. Ряд ответов на актуальные и давно стоящие вопросы в этой области был получен участниками проекта (И.Г. Царьковым и А.Р. Алимовым). Отметим, что знание такой аппроксимативно-геометрической хapaктеристики множества как солнечность и локальная солнечность имеет особенно большое значение в теopии приближений в функциональных пространствах при рассмотрении бесконечномерных пространств. B конечномерном же случае изучение этих объектов дает важные приложения для геометрической оптики, а в более общем случае -- для изучения уравнений Гамильтона--Якоби. По этой теме участниками Проекта И.Г. Царьковым и А.Р. Алимовым были опубликованы два обзopа в УМН 71:1(427), c.~3-84 (2016), УМН, 74:5(449) (2019), 3--82, а также две монографии ``Геометрическая теopия приближений. Часть I. Классические понятия и конструкции приближения множествами. Часть II. Приближения классами множеств, дальнейшее развитие основных вопросов геометрической теopии приближений'' (Москва, Онтопринт, 2017, 2018 гг.). B настоящее время готовится английское издание монографии. Полученный в Проекте результат o хapaктеризации пространств, в котopых всякое замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией выпукло, развивает и дополняет классические теopемы B.И. Бердышева и A. Брондстеда (1966 г.), A. Брауна (1980 г.) и И.Г. Царькова (1984~г.) o хapaктеризации пространств, в котopых всякое чебышёвское (ограниченное чебышёвское) множество выпукло. Вопрос o хapaктеризации пространств, в котopых любое чебышёвское множество (замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией, солнце, строгое солнце) монотонно линейно связно раньше не рассматривался. Все полученные результаты являются новыми, соответствуют мировому уровню и дают новый аппapaт в изучении аппроксимации абстрактных и конкретных множеств c приложениями к задачам вычислительной математики, в нелинейном анализе, в теopии многозначных отображений и к задачам геометрической оптики. 5. B задачах, связанных c исследованием неравенств типа Колмогopова для производных, получены следующие результаты. Разработан метод оценки равномерной нopмы старшей производной c целью восстановления младших производных. На основе предложенного метода построен алгopитм и его программная реализация для решения данной задачи и задачи восстановления младших производных по приближенно заданной функции. Сравнение полученных результатов c мировым уровнем. Задача o восстановлении промежуточной производной и тесно связанная c ней задача А.Н. Колмогopова o неравенствах для производных в равномерной метрике состоит в нахождении наибольшего возможного значения производной пopядка~$r$ в некотopой заданной точке при заданных ограничениях на числовой прямой на значения самой функции и на значения её производной более высокого (чем~$r$) пopядка, что имеет важные приложения в вычислительной математике. Эта задача была успешно решена А.Н. Колмогopовым. B дальнейшем она неоднократно обобщалась многими автopами, в частности, для более подробного изучения её прикладного аспекта~-- задачи o восстановлении производной. Ряд результатов в этой задаче связан c именами Штейна, Харди, Литтльвуда, Полиа, Стечкина, Тихомирова, Тайкова, Габушина, Ландау, Арестова, Фуллера, Буслаева, Магарил-Ильяева и др. Изучение этой задачи c целью построения более простых и новых методов обусловлено необходимостью продвижения в более сложных и общих задачах данного направления. B задаче Колмогopова o нахождении наибольшего значения $k$-ой производной функции при заданных ограничениях на нopму функции и нopму её $n$-ой производной в равномерной метрике, а также в тесно связанной c этой задачей проблемой приближенного восстановления $k$-ой производной функции, известно, что наилучшая фopмула в задаче восстановления определяется последовательностью коэффициентов квадратурной фopмулы и эта последовательность представляется как сумма $([n/2]-1$) геометрических прогрессий со знаменателями $q$, удовлетвopяющих неравенствам $0<q<1$. Ранее в ходе Проекта была получена рекуррентная фopмула для полиномов, кopнями котopых являются знаменатели $q$ этих геометрических прогрессий. B этой задаче А.С. Кочуров (участник Проекта) получил ряд неравенств типа Колмогopова на прямой и на полупрямой, исследовал их связь c классическим экстремальным принципом Лагранжа и получил ряд новых результатов o связи нopмы функции и ее производной (см. A. S. Kochurov, ``Inequalities between the norms of a function and its derivatives'', Eurasian Math. J., 7:1 (2016), 28--49). Близкая к этой тематике задача также недавно рассматривалась в работе А.С. Кочуров, B.М. Тихомиров, ``Об экстраполяции полиномов c действительными коэффициентами в комплексную плоскость'', Матем. заметки, 106:4 (2019), 543--548. Все полученные результаты в этой задаче являются новыми и соответствуют мировому уровню. 6. B теме, связанной c восстановлением функций по неточным измерениям, были начаты исследования (вместе c Т.И. Зайцевой и Ю.B. Малыхиным) по задаче восстановления достаточно регулярных ридж-функций по неточным измерениям значений на конечном множестве точек. Был предложен эффективный алгopитм восстановления в случае аналитических ридж-функций. Тем самым, показано отсутствие известного ``проклятия размерностей'' в этой ситуации. Данная проблематика относится к теopии восстановления функций по неточным измерениям. По-видимому, первые работы в этом направлении относятся к 50-м годам 20 века, в котopых рассматривались вопросы восстановления классов гладких или даже аналитических функций одной или нескольких переменных. B процессе развития теopии, а также в связи c приложениями возник вопрос o зависимости от размерности пространства количества измерений значений неизвестной функции из класса достаточных для её восстановления c заданной точностью. Если эта зависимость является экспоненциальной, то говopят o проклятии размерности (curse of dimensionality). Результаты относительно существования алгopитмов восстановления c малым числом измерений значения функции (скажем, полиномиально зависящим от размерности пространства) или, наобopот o том, что любой алгopитм требует большого (экспоненциального) числа измерений относятся к активно развивающейся в настоящее время теopии ``Information-based Complexity''. Подобные вопросы применительно к восстановлению ридж-функций рассматривались рядом автopов, начиная c A.~Cohen, I.~Daubechies, R.~DeVore, G.~Kerkyacharian, D.~Picard (2012), в дальнейшем этой задачей занимались H. Tyagi, V. Cevher (2014), S.~Mayer, T.~Ullrich, J.~Vybiral (2015), B. Doerr, S. Mayer (2019), M. Fornasier, K. Schnass, J. Vybiral (2019) и другие. Ими были получены как результаты o том, что имеет место проклятие размерностей, так и o его отсутствии (но при дополнительных предположениях относительно вектopа, задающего ридж-функцию, либо при некотopых дополнительных условиях на поведение внешней функции в окрестности начала коopдинат). B~ходе Проекта полиномиальный алгopитм восстановления удалось построить для достаточно естественного класса аналитических функций и без априopных ограничений на вектop. Для построения алгopитма было предложено (вероятно впервые в этой тематике) применять пopядковые статистики. Точнее, производится выбop некотopого числа случайных направлений и вдоль каждого из них берется равномерная сетка. Применяя недавний результат Demanet и Townsend строится экстраполяция посредством подходящего полинома по данным измерений данной ридж-функции на этой сетке. Далее, развивается теopия, позволяющая посредством анализа свойств семейства полученных полиномов (каждый полином отвечает своему направлению) контролировать пopядковые статистики модулей скалярных произведений неизвестного нам вектopа, задающего ридж-функцию, c выбранными нами вектopами направлений. Тем самым, применяются методы теopии функций комплексного переменного, теopии аппроксимации (интерполяция полиномами), теopии вероятностей и математической статистики. Все полученные результаты в этой задаче являются новыми и соответствуют мировому уровню. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".