ИСТИНА

В рамках проекта предлагается решить ряд задач об устойчивости течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью. Интерес к данной проблеме обусловлен широким использованием неньютоновских жидкостей во многих технологических процессах, так как полимерные растворы, моющие средства, суспензии, строительные материалы и другие широко используемые среды обладают сложной реологией. Основной особенностью таких сред является нелинейная зависимость вязких напряжений от скоростей сдвига. Некоторые сдвиговые течения ньютоновских жидкостей со свободной поверхностью, например, течения стекающих пленок, хорошо изучены: известны стационарные и волновые режимы течения. Основной целью настоящего проекта является учет влияния реологических факторов на параметры волн и разработка механизмов управления волновыми течениями. Нелинейная зависимость вязкого трения от скорости сдвига позволяет использовать периодические воздействия с нулевым средним значением (вибрации удерживающей поверхности, периодический рельеф на твердой поверхности) для управлениями средними характеристиками течения. Особенностью течений со свободной поверхностью является наличие области, где касательные напряжения малы. Одна из наиболее часто используемых моделей неньютоновской жидкости – степенная модель – в этом случае дает бесконечное значение вязкости, что ставит под сомнение адекватность ее применения для этого класса задач. Предлагается проанализировать ряд моделей обобщенно ньютоновских жидкостей (модель Эйринга, Карро-Ясуды) для выяснения зависимостей основных характеристик неустойчивости и волн от параметров течения и реологических свойств. Будут решены задачи о стекании неньютоновской жидкости по осциллирующей наклонной плоскости, по плоскости с периодическим микрорельефом. Для каждого случая будут исследованы течения с плоской границей раздела, определены границы их устойчивости к малым возмущениям, найдены волновые режимы течения. Будут выявлены общие свойства реологических законов, приводящие к реализации тех или иных режимов течения. Сравнительный анализ моделей неньютоновских сред для таких задач будет проведен впервые.

The project concerns several problems on non-Newtonian free surface flows stability. A wide use of such flows in chemical technologies and food industry motivates this research, as polymer melts and solutions, suspensions, washing liquids, some construction materials, etc. have complex rheology. These media show a nonlinear dependence of viscous stresses on shear rate. Some Newtonian fluids free surface shear flows are well studied. For example, falling film steady and wavy flow regimes are known. The main goal of the present project is to take into account effect of rheological factors on waves' parameters and to develop ways of control over wavy flows. The nonlinear dependence of viscous friction of shear rate allows using periodic impacts with zero mean value (e.g. rigid surface vibrations or periodic corrugations) to affect mean parameters of the flow. Free surface flows have a region near the surface where tangential stresses are small. One of the most popular models (power-law fluid) fails at this regions as it leads to an infinite value of viscosity, so its use for free surface flows is under question. In the project, other generalized Newtonian liquid models (Eyring, Carreau-Yasuda) will be examined to find instability and wave characteristics as functions of mean flow parameters and rheology. Problems on non-Newtonian film flow down an oscillating inclined plane or over a plane with periodical topography will be solved. For each case, we will find a non-wavy flow regime, determine its stability against small disturbances, consider wave regimes of the flow. We will find some general characteristic of rheological models which determine the set of flow regimes. For the first time, we will provide a comparative analysis of rheological models for oscillatory free surface flows.

В результате реализации проекта будут достигнуты следующие результаты: 1. Получены эволюционные системы уравнений, описывающие течения пленок неньютоновских жидкостей по осциллирующим поверхностям, а также по плоскости с микрорельефом. Данные уравнения будут содержать некоторые интегральные характеристики реологических законов и позволят объединять различные модели среды в классы. 2. Проведен анализ устойчивости безволновых течений к малым возмущениям, определены параметры, при которых возможна стабилизация течений стекающих пленок; найдены возможности стабилизации или возбуждения определенных возмущений с помощью механизма параметрического резонанса. 3. Определены характеристики нелинейных волн, продемонстрировано стабилизирующее или дестабилизирующее влияние реологических особенностей жидкостей. На основе полученных результатов будут сделаны выводы о возможных путях оптимизации технологических процессов. Результаты работы будут соответствовать мировому уровню исследований в данной области.

Была изучена устойчивость течения стекающего слоя неньютоновской жидкости по вертикальной плоскости (Могилевский Е. И., Шкадов В. Я. // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 3. С. 43–56). Выведено обобщенное уравнение Орра-Зоммерфельда, расчеты проведены для двух реологических моделей: степенной жидкости и в модели Эйринга. В этой же работе выведено уравнение, описывающее нелинейную волновую динамику. Построены периодические по пространству волны путем моделирования развития малых возмущений. Разработана программа для вычисления профилей и скоростей уединенных волн. Показано, что наличие псевдопластических свойств (уменьшение вязкости при увеличении скорости сдвига) дестабилизирует течение, расширяет область неустойчивости, приводит к увеличению скоростей и амплитуд нелинейных волн. Разработана программа для определения параметров неустойчивости периодического по времени плоскопараллельного течения (Могилевский Е. И. // Изв. РАН. МЖГ. 2017. № 2.). Используются методы теории Флоке, собственные функции раскладываются в ряд Фурье по времени и по многочленам Чебышева по пространству. Спектральная задача для уравнения в частных производных сводится к алгебраической задаче на собственные значения. Выведено уравнение для описания течения пленки неньютоновской жидкости (степенная модель) по плоскости с микрорельефом (Могилевский Е. И., Шкадов В. Я. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем. Механ. — 2007. — № 3.), исследованы свойства стационарных решений. Устойчивость течения ньютоновской жидкости по плоскости с неровностями исследована в работе Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. // Изв. РАН. МЖГ. 2018 №3 (в печати) в рамках осредненных уравнений. Создана программа для расчета эволюционных уравнений на большом пространственном промежутке. С помощью этой программы возможно моделирование развитие малых возмущений с заданным периодом по времени — такая постановка задачи об устойчивости разумна, если основное течение обладает собственным пространственным периодом.