ИСТИНА

Проект направлен на решение проблем, связанных с оценкой роли нелинейности в механике сплошной среды. Будет дано наиболее общее описание нелинейных задач механики сплошной среды, связанное с градиентным обобщением уравнений Навье-Стокса и в частности, с уравнениями проблемы Стокса, со связанными проблемами термодинамики деформирования сред, а также со связанными задачами термоупругости, вязкоупругости и пр. При этом чрезвычайно актуальными являются нерешенные с достаточной степенью полноты задачи оценки роли нелинейных эффектов, проявляющиеся, как правило, для многокомпонентных сред, в тонких структурах с большой плотностью границ раздела как в задачах течения жидкости и газа, так и в задачах термодинамики деформирования сред, а также в связанных задачах термоупругости. Нелинейные и масштабные эффекты, учет которых возможен в рамках нелокальных теорий (по терминологии Эрингена), может полностью определять аномальное поведение таких структур. В этом случае возникают проблемы сравнительной оценки роли нелинейных локализованных и локальных эффектов, связанных с учетом масштабных эффектов, важные с точки зрения построения эффективных моделей. С этими проблемами связаны и фундаментальные проблемы построения эффективных численных решений, а также проблемы расширения класса аналитических одномерных и двумерных решений, которые играют фундаментальную роль тестовых задач, связанных как с исследованием существования и единственности решений нелинейных задач сплошной среды, так и с построением методов численных решений прикладных частных задач. В частности, задач фильтрации, прогнозирования состояния атмосферы и океана, термодинамики деформирования тонких структур и пр. Кроме того, важными и актуальными являются проблемы обобщения и экспериментальной проверки классической задачи Прандтля на области со сложной геометрией, а также развития аппарата теории нелинейных изотропных тензоров-функций нескольких переменных применительно к теории определяющих соотношений МСС. В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций), изготовленных из новых материалов возникает потребность создания новых теорий и современных методов их расчета. Здесь предлагаются разработка метода ортогональных полиномов и его применение при построении новых нелинейных теорий тонких тел и исследование возникающих при этом нелинейных дифференциальных операторов, а также создание эффективных методов расчета конкретных начально-краевых задач. Эти проблемы, безусловно, являются весьма актуальными. Следовательно, проблема исследования решений нелинейных уравнений в моделях механики сплошных сред, и в том числе в градиентных обобщенных моделях, направленных на непосредственный учет масштабных эффектов, несомненно, относятся к фундаментальным междисциплинарным проблемам, ибо затрагивает исследование связанных эффектов взаимодействия механических и физических полей (связанные процессы тепло и массопереноса и пр.). Для задач Навье ̶Стокса в общей постановке, в частности, и задач Стокса, а также задач фильтрации и нелокальных теорий упругости предполагается решать некоторые из фундаментальных теоретических проблем, в частности, проблемы существования и единственности решения, оценки корректности моделей, связанной с учетом условий симметрии, исследования материальной объективности конкретных моделей. Кроме того, будут решены прикладные проблемы, связанные с исследованием структуры определяющих соотношений, построением эффективных алгоритмов представления решений, оценкой влияния масштабных параметров, развитием методов определения эффективных свойств нелинейных систем и пр.

The project is aimed at solving problems related to the evaluation of the role of nonlinearity in continuum mechanics. The most general description of nonlinear problems in the mechanics of a continuous medium related to the gradient generalization of the Navier-Stokes equations and, in particular, to the equations of the Stokes problem, to the coupled thermodynamics problem of media deformation, and also to the coupled thermoelasticity problem, viscoelasticity, etc. will be given. At the same time, the unresolved with sufficient completeness problems of estimating the role of nonlinear effects are extremely important. These problems, as a rule, are manifested for multicomponent media, in thin structures with a high border density both in problems of fluid and gas flow, and in problems of the thermodynamics of medium deformation, as well as in coupled thermoelasticity problem. Nonlinear and scale effects, which can be taken into account in the nonlocal theories (according to the terminology of Ehringen), can completely determine the anomalous behavior of such structures. In this case, the problems of comparative evaluation of the role of nonlinear localized and local effects associated with the account of scale effects, important from the point of view of constructing effective models arise. These problems are connected with the fundamental problems of constructing effective numerical solutions, as well as the problems of expanding the class of analytic one-dimensional and two-dimensional solutions that play the fundamental role of test problems related both to the study of the existence and uniqueness of solutions of nonlinear problems in a continuous medium and to the construction of numerical solution methods applied private tasks. In particular, the problems of filtration, prediction the state of the atmosphere and the ocean, the thermodynamics of deformation of thin structures, etc. Besides, the problems of generalizing and experimental verification of the classical Prandtl problem on domains with complex geometry, as well as the development of the apparatus of the theory of nonlinear isotropic tensor-functions with several variables applied to the theory of defining relations of continuum mechanics are important and actual. Due to the extensive use of thin bodies (one-, two-, three- and multilayer structures) made of new materials, there is a need to create new theories and modern methods for their calculation. Here we propose the development of the method of orthogonal polynomials and its application in the construction of new nonlinear theories of thin bodies and the investigation of nonlinear differential operators arising in this process, as well as the creation of effective methods for calculating specific initial boundary value problems. These problems, of course, are very relevant. Consequently, the problem of investigating the solutions of nonlinear equations in continuum mechanics models, including in gradient generalized models aimed at directly taking into account the scale effects, undoubtedly belongs to fundamental interdisciplinary problems, since it involves studying the related effects of the interaction of mechanical and physical fields (related processes heat and mass transfer, etc.). For the Navier-Stokes problems, in a general formulation, in particular, of Stokes problems, as well as filtration problems and non-local elasticity theories, it is supposed to solve some of the fundamental theoretical problems, in particular, problems of existence and uniqueness of the solution, estimating the correctness of models associated with the consideration of symmetry conditions, research on the material objectivity of specific models. In addition, applied problems related to the study of the structure of constitutive relations, the construction of effective algorithms for representing solutions, the evaluation of the influence of scale parameters, the development of methods for determining the effective properties of nonlinear systems, etc., will be solved.

Целью и задачами проекта являются решение проблем, связанных с оценкой роли нелинейности в механике сплошной среды и применение задач на собственные значения для тензора и тензорно-блочной матрицы любого четного ранга в нелинейной механике. Кроме того, Целью и задачами проекта являются построение нелинейных градиентных теорий тонких тел с применением систем ортогональных полиномов и исследование нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в этих теориях. -Авторы предполагают дать описание задач механики сплошной среды связанное с градиентным обобщением уравнений Навье Стокса, и в частности с уравнениями проблемы Стокса, с связанными проблемами термодинамики деформирования сред, с связанными задачами термоупругости и пр. - Предлагается сформулировать неинтегрируемую вариационную линейной формы в переменных Эйлера, которая является основой для вариационной формулировки уравнений Навье Стокса. Предлагается получить уравнения Навье-Стокса как уравнения диссипативного процесса не из условия стационарности некоторого функционала, а из равенства нулю некоторой заведомо неинтегрируемой линейной вариационной формы. - Предполагается сформулировать вариационную постановку для задачи Н-С, Задачи Стокса, нелинейных вариантов градиентных теорий термомеханики и теорийи упругсти. Для этого предлагается сформулировать неинтегрируемую вариационную линейную форму как линейную комбинацию сверток тензоров дисторсий, 4D-градиентов дисторсий и их вариаций с трансверсально изотропным в отношении времени тензором вязкости четвертого ранга в эйлеровой системе координат. Трансверсальная изотропность тензора вязкостей объясняется полученными результатами при формулировках связанных задач динамической термоупругости и теплопроводности как теории упругости 4D-среды как для обратимых, так и необратимых термомеханических процессов. Ранее авторами аналогичные результаты были получены при формулировке расширенной термодинамики, классической и неклассической электродинамики. - Предполагается исследовать два типа нелинейностей, появляющихся при переходе от эйлеровых к лагранжевым координатам. Так как формулировка неинтегрируемой линейной вариационной формы опирается на принцип возможных перемещений, она автоматически приводит к инвариантности соответствующих обобщенных уравнений Навье-Стокса. Первый тип нелинейности (скалярный) определяется зависимостью тензора вязкостей от якобиана преобразования при переходе от эйлеровой к лагранжевой системе координат. Второй тип нелинейности (тензорный) определяется зависимостью тензора вязкостей от тензора производных эйлеровых координат по лагранжевым. - Одной из целей проекта является получение корректного обобщения уравнений Био как уравнения Эйлера требования стационарности неинтегрируемой вариационной формы. В общем случае эта система уравнений должна быть связанной и нелинейной. Как частный случай, когда производными по пространственным координатам можно пренебречь по сравнению с производными по времени, из уравнений Био вытекают традиционная формулировка уравнений Навье-Стокса, когда уравнения записаны только относительно скоростей. - Предполагается получить вариационную модель для градиентного обобщения 4D-уравнений Навье-Стокса-Дарси и исследовать условия симметрии и свойства решения, дать доказательство теорем индеферентности, обеспечивающих корректность постановок в мега и микромасштабах - Целью проекта будет и формулировка прикладных градиентных физически однопараметрических моделей краевых задач, анализ решений таких задач, сравнительный анализ градиентных и нелинейных эффектов. - Предлагается разработать эффективные алгоритмы представления решений, с оценкой влияния масштабных параметров; развить методы определения эффективных свойств нелинейных систем; предложить эффективные методы решения задач проницаемости реальных пористых сред с учетом масштабных эффектов и нелинейности на основе метода асимптотического усреднения для уравнений высокого порядка. - В части развития методов численного моделирования и анализа уравнений Навье-Стокса предполагается исследовать влияние граничных условия 3 рода и градиентных параметров, при задании взаимодействия двух сред, на примере взаимодействия Океан-Атмосфера в совместной модели. - Предполагается построение нелинейных градиентных теорий тонких тел с применением систем ортогональных полиномов и задач на собственные значения тензоров высокого четного (четвертого, шестого и более высокого) ранга. - Предполагается рассматривать постановки связанной и несвязанной начально-краевых задач для нелинейной градиентной теории тонких тел в моментах относительно полиномов Лежандра и Чебышева; - Предполагается рассматривать обобщение и экспериментальная проверка классической задачи Прандтля на области со сложной (неплоской) геометрией, пластические и вязкопластические материалы с нелинейными определяющими соотношениями и внутренней микро- и наноструктурой, с учетом динамических эффектов выдавливания тонкого слоя и с выявлением оптимальных силовых режимов; - Предполагается построение корректирующих слагаемых, позволяющих удовлетворять граничным условиям на лицевых поверхностях, а также межслойным контактным условиям в теориях многослойных конструкций. - Предполагается построение нелинейных теорий жестких в поперечном направлении упругих тонких тел и оболочек. - Предполагается развитие аппарата теории нелинейных изотропных тензоров-функций нескольких переменных применительно к теории определяющих соотношений МСС. - Предполагается получение оценки влияния трёхмерности картины возмущений и её многопараметричности на устойчивость течений, описываемых меньшим числом параметров и "меньшей размерности" в тонких телах (плоский слой, цилиндрический, сферический и конический зазоры). - Предполагается применение полуобратного метода Сен-Венана для удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях, а также контактным условиям в теориях многослойных конструкций. - Предполагается получение аналитических и численных решений некоторых краевых задач предлагаемых теорий. - Предполагается описание динамического режима выдавливания жёсткопластического материала из узкого цилиндрического слоя при взаимном сближении граничных цилиндров (прессование прецизионно тонких цилиндрических оболочек).

В целом, коллектив исполнителей специализируется в области неклассических моделей механики деформируемого твердого тела в приложении к задачам уточненного определения напряженно-деформированного состояния и эффективных свойств материалов со сложной структурой. Имеется большой задел в области построения нелокальных неклассических моделей c использованием современных методов осреднения при моделировании композиционных материалов с микро/нано- структурой и конструкций на их основе