ИСТИНА

Задачи поиска периодических/квазипериодических движений неконсервативных динамических систем возникают при моделировании широкого спектра объектов: технические устройства, экосистемы, биомеханические системы, нейронные сети и т.д. В зависимости от конкретной ситуации это могут быть движения как колебательного, так и ротационного типа. Помимо исключительного значения для приложений, описание периодических траекторий имеет принципиальную фундаментальную значимость: позволяет выявить различные качественные типы «поведения» динамических систем. В то время как для решения прикладных задач более востребованы численные методы поиска периодических движений, в фундаментальном отношении аналитические методики всегда остаются актуальными, так как позволяют гарантировать точность выводов о числе периодических траекторий, даже если их бесконечно много, а также доказывать наличие тех или иных качественных свойств периодических траекторий. В настоящем проекте будут предложены новые методы поиска периодических траекторий динамических систем. Особое внимание будет уделено построению новых итерационных аналитических методов для систем без малого параметра, обобщающих подходы, существующие для систем, содержащих малый параметр. В качестве основы для построения новых методик будут использованы как давно известные и широко распространенные методы, так и последние достижения в данной области. На основе аналитических методов будут разработаны и реализованы численно-аналитические процедуры, которые в ряде случаев будут эффективнее известных численных методов поиска периодических решений. Соответствующие преимущества будут обоснованы, а также проиллюстрированы примерами. На конкретных примерах будут продемонстрированы возможности предложенных методов для получения новых качественных аналитических результатов о поведении некоторых классов динамических систем, в частности, возникающих в задачах ветроэнергетики. Методы будут применены для решения актуальных задач отыскания установившихся движений в различных задачах механики, в том числе для описания автоколебаний и авторотаций систем, взаимодействующих с потоком среды.

Problems of search for periodic/quasi-periodic motions of non-conservative dynamical systems arise in the context of modeling of a wide range of objects: technical devices, ecosystems, biomechanical systems, neural networks, etc. Depending on the specific situation, these motions can be oscillatory or rotational. Apart from exceptional value for applications, description of periodic trajectories is crucially important from the fundamental point of view: it can reveal different qualitative types of “behavior” of dynamical systems, and allows getting closer to solving the 16th Hilbert’s problem. While numerical methods for search for periodical motions are more demanded for applied problems, analytical methods always remain topical from the perspective of fundamental research, because they allow for guarantying the accuracy of conclusions about the number of periodic trajectories, even if there is an infinite amount of them, as well as for proving the presence of certain qualitative properties of periodic trajectories. In this project, new methods of search for periodic trajectories of dynamical systems will be proposed. Special attention will be paid to construction of new iterative analytical methods applicable for systems without a small parameter and generalizing approaches that exist for systems containing a small parameter. Construction of new methods will be based both on well-known and widely used methods and the latest achievements in this area. Based on analytical methods, numerical-analytical procedures will be developed and implemented that, in some cases, will be more efficient than the existing numerical methods of search for periodic solutions. The corresponding advantages will be substantiated and illustrated with examples. Potential of proposed methods for obtaining new qualitative results concerning behavior of specific classes of dynamical systems (that arise, in particular, in wind engineering problems) will be demonstrated using specific examples. The methods will be used to address the issue of finding periodical motions in different mechanical problems, in particular, to describe self-oscillations and self-rotations in systems interacting with flow.

Ожидаемые результаты: 1) Будет получен новый итерационный метод отыскания периодических траекторий неконсервативных динамических систем на плоскости, не требующий наличия малого параметра в системе. Будут приведены примеры систем, для которых имеет место «практическая» сходимость соответствующей итерационной процедуры. Для некоторого класса систем будет описана взаимосвязь между бифуркациями в системе и нарушением условий сходимости итерационного метода. 2) Для определенных классов неконсервативных динамических систем на плоскости и на цилиндре будут получены аналитические результаты о свойствах бифуркационных диаграмм периодических траекторий. 3) Будет разработан метод поиска квазипериодических траекторий для определенного класса динамических систем с двумя степенями свободы. 4) Будут созданы вычислительные программы, реализующие указанные новые методы. 5) С использованием разработанных программ будут построены бифуркационные диаграммы периодических и квазипериодических движений различных механических систем, моделирующих ветроэнергетические устройства.

Коллектив заявителей представляет собой сложившуюся сильную научную группу, имеющую к данному моменту хороший опыт совместного выполнения научных проектов, подтвержденный значительным числом совместных публикаций и командными победами в международных научно-технических конкурсах. Настоящий проект является продолжением проекта 16-31-00374: в направлении дальнейшего совершенствования методов исследования динамических систем и их применения для решения задач ветроэнергетики. Ранее руководителем проекта был предложен метод введения малого параметра в задачах ветроэнергетики. Руководителем и коллективом был развит подход к выбору бифуркационных параметров модели (выделение безразмерного параметра, характеризующего значение полезной нагрузки на систему), был предложен и реализован подход к конструктивному построению бифуркационных диаграмм периодических решений (например, диаграмм, описывающих зависимость механической мощности от коэффициента внешней нагрузки). Руководителем проекта были выявлены определенные тенденции эволюции периодических траекторий и был предложен новый итерационный метод отыскания периодических траекторий динамических систем на плоскости, устанавливающий достаточные условия орбитальной устойчивости найденных траекторий. В настоящем проекте идеи, заложенные в этих работах, будут использованы для создания новых методов отыскания периодических и квазипериодических траекторий динамических систем. Все участники коллектива на данный момент имеют весьма успешный опыт применения качественных методов исследования динамических систем для решения задач ветроэнергетики. Коллективом создан прототип ветромобиля, который получил в 2015 г. золотую медаль Международного конкурса Greentech2015. Прототип ветроустановки нового типа, созданный коллективом, получил золотую медаль Международного конкурса Greentech2016.