Спектральная теория линейных и нелинейных операторов и задачи управления распределенными системамиНИР

Spectral theory of linear and nonlinear operators and control problems for distributed systems

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В. Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0706 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Спектральная теория линейных и нелинейных операторов и задачи управления распределенными системами
Результаты этапа: Рассмотрен дифференциальный оператор второго порядка на отрезке числовой прямой с интегральными краевыми условиями. Показано, как построить сопряженный оператор. Дифференциальная операция сопряженного оператора может быть нагру-женной, а область определения этого оператора может содержать функции, которые сами и их производные имеют разрывы первого рода в счетном числе точек. Для корневых функций сопряженного оператора получены интегральные представления, в частности, формула среднего. Частично решена проблема М. Бухмана и А. Пинкуса о представимости конечной суммы ридж-функций, принадлежащей некоторому классу гладкости, в виде суммы ридж-функций, каждая из которых принадлежит тому же классу гладкости. Получены обобщения одной теоремы Н. Де Брёйна, а также ряда теорем, доказанных ранее совместно с С.В. Конягиным. Также были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного из пространства L_p решения смешанных задач для телеграфного уравнения при p≥1. Доказаны новые теоремы об общих неподвижных точках (бесконечного) семейства многозначных отображений упорядоченного множества, а также новые теоремы о совпадениях конечного набора из многозначных отображений упорядоченных множеств, обобщающие теорему Смитсона. Получен критерий сходимости итерационной схемы типа Нура (Noor-type) с погреш- ностями для аппроксимации общих неподвижных точек трех последовательностей равномерно квази- липшицевых отображений в себя замкнутого выпуклого подмножества полного выпуклого етрического пространства. Установлены необходимые условия стабилизации к нулю решения первой краевой задачи для параболического уравнения с дивергентным эллиптическим оператором и коэффициентами, зависящими от x и t. Получен критерий поточечной стабилизации решения первой краевой задачи в терминах расходимости интеграла от тепловых ёмкостей, а также в терминах расходимости интеграла от винеровской емкости. Для сильно сингулярного самосопряженного оператора, порожденного одномерным оператором Шредингера на всей прямой, исследованы классы сходимости спектральных разложений в метрике, равномерной на всей прямой. Изучена безусловная базисность системы корневых функций возмущения дифференциального оператора второго порядка с инволюцией вида –u^'' (x)+αu''(-x) при α∈(-1;1). Установлена равномерная равносходимость спектральных разложений, отвечающих оператору, порождаемому простейшей дифференциальной операции с инволюцией –u^'' (-x) с начальными условиями Коши, и его возмущению оператором умножения на произвольную суммируемую с квадратом функцию. Были рассмотрены задачи терминального управления на фиксированном отрезке времени с ос-новными компонентами в виде линейной динамики, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, и краевыми задачи выпуклого программирования. Краевые за-дачи неявно определяют правый (или оба) конца траектории. Для каждой из решенных задач терминального управления был предложен и реализован итерационный метод экстраградиент-ного типа и доказана его сходимость к решению по всем компонентам решения.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Спектральная теория линейных и нелинейных операторов и задачи управления распределенными системами
Результаты этапа: Получены следующие результаты: В отчетный период рассматривались проблемы существования общих неподвижных точек и совпадений семейств многозначных отображений упорядоченных множеств. Были получены теоремы о неподвижных точках и совпадениях семейств многозначных отображений, обобщающие перечисленные результаты. Кроме того, рассмотрены некоторые их следствия. рассмотрены задачи граничного управления для волнового уравнения с ограничением типа неравенства. Рассмотрены случаи граничных управлений силой и смещением в различных комбинациях. Ограничение накладывалось на квадрат L2 нормы минимизирующей функции. 1. Статья "Решение систем линейных уравнений с нормальными матрицами коэффициентов и степень минимального полианалитического многочлена" принята к публикации журналом "Математические заметки". Основной ее результат: степень минимального полианалитического многочлена нормальной матрицы А определяет ширину ленты в ленточной матрице, к которой А может быть приведена посредством унитарного подобия. 2. Статья "О симплектических собственных значениях положительно определенных матриц" принята к публикации журналом "Вестник Моск. ун-та. Серия 15. Вычисл. математика и кибернетика". В ней дано новое доказательство существования т.н. симплектического разложения для вещественных симметричных положительно определенных матриц. 3. Статья "О вычислении регуляризующего разложения квадратной матрицы относительно конгруэнций" принята к публикации "Сибирским журналом вычислительной математики". В ней предложен простой алгоритм выделения из квадратной матрицы ее сингулярной части относительно конгруэнций.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Спектральная теория линейных и нелинейных операторов и задачи управления распределенными системами
Результаты этапа: Для обыкновенного несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка на отрезке числовой прямой с интегральными краевыми условиями установлены условия безусловной базисности и равномерной сходимости разложения функции в ряд по системе собственных и присоединенных функций. Получены априорные оценки функций этой системы для рассматриваемых операторов. Получены оценки корневых функций одномерного оператора Шредингера с сильной граничной сингулярностью. Доказана бесселевость системы корневых функций сингулярного оператора второго порядка на отрезке. Рассмотрен вопрос о базисности системы собственных и присоединенных функций, отвечающих одной нелокальной задаче для оператора второго порядка с инволюцией. Для краевых задач, порождаемых вырождающимися эллиптическими операторами показано, что метод регуляризации сингулярных возмущений, разработанный для построения асимптотических решений этих задач, после небольшой модификации применим для этого класса задач. Установлена логарифмическая скорость стабилизации к нулю при t→∞, равномерная по х на каждой компактной подобласти на плоскости для решения задачи Коши для параболического уравнения 2-го порядка, с оператором Лапласа в главной части и с младшим коэффициентом с(х)≤0 при решении и с ограниченной и непрерывной начальной функцией. Изучена также скорость стабилизации к нулю решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения, со всеми младшими коэффициентами, зависящими от х и от t. При выполнении условий квадратичной скорости убывания по коэффициента при решении и при условии линейной по |х| скорости убывания коэффициентов при градиенте решения, получена неулучшаемая степенная скорость стабилизации к нулю решения задачи Коши, равномерная по х на каждой компактной подобласти. Исследованы задачи терминального управления на фиксированном отрезке времени с линейной динамикой, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, и краевыми задачи выпуклого программирования. Особенностью новой постановки является наличие фазовых ограничений на всем отрезке времени. Краевые задачи при этом неявно определяют правый конец траектории. Для указанной задачи терминального управления был предложен и реализован итерационный метод экстраградиентного типа. Сформулирована и доказана теорема о сходимости метода к решению по управлениям, фазовым и сопряженным траекториям, а также по конечномерным переменным краевых задач. Получены результаты о равномерной базисности системы корневых функций оператора Дирака с суммируемым потенциалом. Решена задача о построении асимптотик решений линейных дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами в окрестности бесконечности. Были исследованы некоторые свойства конечных сумм ридж-функций, то есть функций f, являющихся суммой плоских волн, определяемых функциями u_i и фиксированными направлениями a_i, определенных на выпуклых подмножествах E пространства R^n. Получено новое доказательство принципа каскадного поиска нулей функционала в метрическом пространстве. Продолжено изучение вопросов о сохранении в процессе гомотопии свойства отображения (пары отображений) упорядоченного множества иметь неподвижную точку (точку совпадения). Введено новое понятие многозначной гомотопии многозначного отображения упорядоченного множества, с помощью которого результаты о сохранении существования неподвижной точки в процессе гомотопии отображения упорядоченного множества обобщены на случай многозначных отображений. Получены новые теоремы о существовании пары равновесных стратегий в антагонистической игре двух участников.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Спектральная теория линейных и нелинейных операторов и задачи управления распределенными системами
Результаты этапа: Рассмотрена краевая задача (задача E по М.В.Келдышу) для нерегулярно вырождающегося эллиптического оператора в прямоугольнике, содержащая первую производную по переменной вырождения. Построено точное решение задачи в виде ряда по собственным функциям предельного оператора. Использован метод спектрального выделения особенностей, переносящий метод регуляризации сингулярных возмущений на вырождающиеся эллиптические уравнения. Для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на отрезке числовой прямой с интегральными краевыми условиями установлена оценка скорости равномерной сходимости ряда – разложения функции по корневым функциям этого оператора и оценка скорости равносходимости указанного разложения функции и разложения этой функции в тригонометрический ряд Фурье. Исследована равномерная сходимость разложения функции по сопряженной системе. Для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с потенциалом, имеющим на границе интервала задания особенности типа предельного круга и заданным общими краевыми условиями, изучена асимптотика собственных значений, функции Грина и доказана полнота и безусловная базисность соответствующей системы корневых функций. Установлена степенная по времени оценка скорости убывания модуля решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка с младшими коэффициентами. При этом предполагалось, что начальная функция растет на бесконечности не быстрее, чем некоторая степень от расстояния до начала координат, и что старшие коэффициенты уравнения растут как квадрат этого расстояния, а коэффициенты при градиенте растут как первая степень этого расстояния. Построено главное собственное значение соответствующей стационарной задачи, что позволило получить близкие к окончательным результаты о скорости стабилизации решений. Получены также новые результаты о решениях эллиптического уравнения второго порядка на плоскости с разрывными коэффициентами. Построена асимптотика решений одного класса линейных дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами в окрестности иррегулярной особой точки с использованием методов ресургентного анализа. Проанализировано свойство гладкости конечных сумм ридж-функций на выпуклых множествах многомерного евклидова пространства. Установлены существование и единственность решения одного нелинейного интегрального уравнения, возникающего в биологической модели динамики популяций. Проанализирована возможность использования в этой модели замыкания третьей степени. Построены точные решения некоторого неклассического нелинейного уравнения 4 порядка, одного нелинейного уравнения соболевского типа, а также уравнения с нелинейностью под знаком лапласиана. Получены точные оценки решений нестационарного одномерного оператора Дирака с суммируемым потенциалом на основании анализа соответствующей операторной группы. Доказана теорема о сохранении свойства семейства отображений иметь общую неподвижную точку в процессе упорядоченной гомотопии, а также о сохранении свойства пары отображений иметь точку совпадения при специальной упорядоченной гомотопии. Изучена задача о сохранении свойства существования неподвижной точки (точки совпадения) при многозначных гомотопиях многозначного отображения. Принцип поиска нулей специальных функционалов обобщен на случай квазиметрических пространств. Были рассмотрены решения некоммутативной унитарной U(1) сигма-модели, которые являются конечномерным возмущением тождественного оператора и имеют единственное собственное значение. Найдено явное описание решений, которые получаются из плоских решений присоединением одного или двух унитонов. Это обобщает решения с одним собственным значением и унитонным числом, равным двум или трем. Показано, что число параметров, которыми описываются полученные решения, не превышает нормированной энергии этих решений. Исследованы новые постановки задачи терминального управления с линейной динамикой на заданном интервале времени с фиксированным левым и подвижным правым концом фазовой траектории. Основной особенностью и сложностью новой постановки является наличие фазовых ограничений в дискретные моменты времени. Используя идеи двойственности, с помощью введенной функции Лагранжа разработан метод, асимптотически сходящийся к седловой точке. Доказана сходимость метода к решению задачи. Построен рациональный алгоритм (т.е. конечный алгоритм, использующий только арифметические операции) для установления конгруэнтности (или ее отсутствия) пары нормальных матриц. Найден способ решения некоторых типов квадратичных и полуторалинейных матричных уравнений путем их сведения к линейным или полулинейным уравнениям. Сконструирован метод бисекции для вычисления собственных значений нормальных матриц. Исследовано применение В-сплайнов для разложения двумерного временного ряда на эмпирические моды.
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Спектральная теория линейных и нелинейных операторов и задачи управления распределенными системами
Результаты этапа: Продолжено изучение корректности постановок смешанных задач для уравнений в частных производных при минимальных требованиях на данные задачи. Доказан критерий существования и единственности классического решения смешанной задачи для телеграфного уравнения с периодическими краевыми условиями. Показано, что при выполнении минимальных условий на исходные данные классическое решение переходит в обобщенное решение поставленной задачи. Как для классического решения, так и для обобщенного решения обосновано представление в виде быстро сходящегося ряда – обобщенной формулы Даламбера. Продолжено изучение задачи равносходимости спектральных разложений по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из шкалы пространств Лебега и регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Получены ключевые оценки на резольвенту оператора. Для оператора Дирака с суммируемым потенциалом получены равномерные асимптотики собственных значений и собственных функций в шкалах пространств. Для общего дифференциального оператора четного порядка на прямой с равномерно локально суммируемыми коэффициентами описаны классы функций, спектральные разложения которых допускают почленное дифференцирование, а получающиеся разложения абсолютно и равномерно в метрике на всей прямой сходятся. Проведен полный спектральный анализ задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией в старшей производной; с помощью оценок функции Грина доказана полнота корневых функций этой задачи и выделены случаи, в которых система корневых функций образует безусловный базис в пространстве L2. Проведено исследование спектральных свойств возмущения оператора типа Бесселя оператором умножения на потенциалы из лебеговых классов. Построена формула «сдвига» для собственных функций такого оператора, позволяющая установить сохранение свойства бесселевости у системы корневых функций. Изучена взаимосвязь между слабыми решениями эллиптических краевых задач Дирихле и Неймана с разрывными коэффициентами для плоской односвязной области. Получены результаты о стабилизации решений общего параболического уравнения с растущими главными коэффициентами. Продолжено изучение вырождающихся эллиптических уравнений – построена асимптотика их фундаментальной системы решений. Доказана теорема о сохранении существования нулей у параметрического семейства многозначных (a,b)-поисковых функционалов на открытом подмножестве метрического пространства. Получен ряд следствий о сохранении существования прообразов замкнутого подпространства при действии параметрического семейства многозначных отображений, о сохранении существования точек совпадения, общих неподвижных точек конечного набора параметрических семейств отображений. Исследована также пара многозначных отображений типа Замфиреску. Доказана теорема о существовании точек совпадения для таких пар отображений. Предложен метод поиска нулей конических функционалов, рассмотрены вопросы его устойчивости в коническом метрическом пространстве, указаны применения в теории неподвижных точек и совпадений отображений. Доказана теорема о сохранении существования нулей при изменении параметра у однопараметрического семейства(a,b)-поисковых функционалов на открытом подмножестве метрического пространства. Представлены следствия из этой теоремы: о сохранении существования прообразов данного замкнутого подпространства у параметрического семейства многозначных отображений метрических пространств, о сохранении существования точек совпадения у конечного набора из двух и более семейств многозначных отображений метрических пространств, о сохранении существования общих неподвижных точек у набора семейств многозначных отображений в себя метрического пространства. Используя метод повторного квантования, изучена асимптотика решений волнового уравнения с голоморфными коэффициентами в окрестности бесконечно удаленной точки. Получены точные решения одной нелинейной модели проводника. Исследованы вопросы, связанные со свойством кратной дифференцируемости функций многих переменных. Для вещественнозначной функции многих переменных было предложено определение её кратной дифференцируемости более общее, чем классическое определение Фреше, но в то же время достаточное для доказательства обобщённой теоремы Янга (о независимости частных производных высших порядков от последовательности дифференцирования) и теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Для модели популяционной динамики Дикмана с неподвижными особями изучена стохастическая геометрическая структура имеющихся решений. Произведено сравнение аналитического и симуляционного подходов к исследованию биологических моделей пространственных сообществ. Проводились исследования математических и численных проблем, возникающих в теории ассимиляции данных для нелинейных динамических систем. Было проведено изучение устойчивости p-шаговой модификации метода GKF для системы Лоренца. Для динамической системы, известной как система уравнений Лотка-Вальтерры, исследованы вопросы устойчивости решений и существования замкнутых траекторий. Продолжены начатые ранее исследования по развитию теории доказательных методов и моделей терминального управления. Проведены дальнейшие исследования модели терминального управления с краевой задачей линейного программирования на правом конце временного интервала. Предложены и обоснованы с применением достаточных условий оптимальности новые модели терминального управления с дискретными (промежуточными) фазовыми ограничениями. Модели исследованы в двух вариантах: в непрерывном, когда фазовые ограничения представляют собой непрерывную «трубку», и в дискретном, когда трубка рассекается в точках дискретизации, что приводит к появлению семейства промежуточных конечномерных задач. Фактически получен новый класс мультиагентных управляемых систем. Для решения указанных выше модельных задач были разработаны оригинальные итерационные методы градиентного типа в рамках лагранжева формализма, которые имеют доказательный характер. Это значит, что для задач с точными данными доказана сходимость методов к точному решению задачи. Для прикладных задач доказано построение решения с заданной точностью. Построены рациональные алгоритмы для проверки конгруэнтности матриц, принадлежащих некоторым специальным классам: (1) классу юнитоидов (так называются матрицы, приводимые к диагональному виду посредством *-конгруэнтных преобразований); (2) классу неюнитоидных матриц с условиями, наложенными на унимодулярные собственные значения их коквадратов. Дана интерпретация так называемых симплектических собственных значений вещественных симметричных положительно определенных матриц как модулей обычных собственных значений ассоциированных с ними гамильтоновых матриц. Показано, что положительно определенные матрицы приводимы к диагональному виду посредством не только симплектических *-конгруэнций, но и *-конгруэнтных преобразований из других классов, например, псевдоунитарных или псевдо-ортогональных конгруэнций.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".