ИСТИНА

Проект представляет собой продолжение научных исследований, ведущихся на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ в области геометрии и топологии многообразий и гамильтоновых систем. Проект включает в себя следующее. Изучение геометрии гамильтоновых систем, в том числе - вполне интегрируемых гамильтоновых систем и их инвариантов. Дальнейшее изучение минимальных заполнений и связанных с ними отношений типа Штенера. Изучение геометрии пространства метрических компактов Развитие теории квантования инвариантных многообразий гамильтоновых систем. Развитие теории граф-зацеплений. Изучение систем Бертрана. Исследование спектральных и динамических свойств дифференциальных операторов на многообразиях с особенностями и на клеточных комплексах. Развитие теории деформационного квантования.

Траекторная (топологическая и гладкая) классификация интегрируемых двумерных локально плоских биллиардов. Изучение биллиардов на кусочно-гладких замкнутых поверхностях с локальной метрикой постоянной кривизны. Классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях вращения с гладкими потенциалами. Классификация римановых многообразий вращения и центральных потенциалов на них, обладающих усиленным свойством Бертрана: любая неособая (т.е. не содержащаяся в меридиане) орбита замкнута. Результат будет получен без предположения об отсутствии экваторов. Планируется доказать существование 2^{N-2} семейств симметричных относительно-периодических решений задачи N+1 тел типа планетной системы со спутниками, будут изучены условия орбитальной устойчивости таких решений. Планируется описать все ``достаточно гладкие'' топологические инварианты магнитных полей в ``магнитных трубках''. Планируется исследовать свойства геодезических потоков на двумерных многообразиях, имеющих особенности метрики вдоль кривых. Планируется получить необходимые и достаточные условия на особенности метрики для ``локальной интегрируемости по Лиувиллю'' таких геодезических потоков. Предполагается выяснить точность полученных ранее верхних оценок на род двумерных атомов-поверхностей, допускающих в качестве группы симметрий ту или иную конечную группу. Планируется вычислить инварианты Жордана-Кронекера для одной естественной серии алгебр Ли, а именно для полупрямых сумм полупростых алгебр Ли с k экземплярами R^n. Планируется получить полную топологическую (полулокальную) классификацию невырожденных особенностей произвольного типа и ранга для многомерных интегрируемых гамильтоновых систем. Планируется исследовать глобальные свойства сингулярного комплекса особенности многомерной интегрируемой гамильтоновой системы. В частности, предполагается описать связь между топологическими инвариантами этого комплекса и характеристическими классами фазового пространства системы, а также получить препятствия к существованию "сложных" особенностей на конкретных компактных симплектических многообразиях.