Современные вопросы геометрической теории приближений и приложения в анализеНИР

Modern problems in geometric approximation theory and applications in analysis

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Современные вопросы геометрической теории и приложения в анализе
Результаты этапа: Получены точные оценки минимального собственного числа сингулярного оператора Штурма--Лиувилля на полуоси. Вычислена точная нижняя грань минимального собственного числа на различных классах потенциалах для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля. Получен результат о неравенстве для тригонометрических полиномов, в частности, содержащий классические результаты, B. B. Арестова, Г. Сегё на случай произвольной $L_p$- метрики $p\in [0;+\infty]$. Колмогоровские неравенства для производных (или неравенства Ландау--Колмогорова) на полупрямой состоят в нахождении наибольшего значения нормы $k$-ой производной функции $x$ в метрике пространства $L_q$ при заданных ограничениях на норму $x$ в метрике $L_p$ и норму её $n$-ой производной в $L_r$, $0<p, q\leqslant\infty$, $r\geqslant 1$. Эта задача в общей постановке решена лишь для небольшого числа значений параметров $(k,n,q,p,r)$. В частности, ответ в ней известен для $k=0$, $n=1$ и произвольных остальных значений $(q,p,r)$. Для аналогичной задача, когда $k=0$, $n=1$ и дополнительно к ограничениям из экстремальной задачи о неравенствах для производных вводится ограничение $x(0)=a$ найдено решение и исследованы свойства экстремальной функции, на которой обобщённое неравенство Колмогорова обращается в равенство. Оказалось, что в зависимости от значения параметра $a>0$ эта функция имеет либо один, либо два интервала монотонности. Найдена характеризация замкнутых множеств, допускающих непрерывные $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$. Установлена связь для таких множеств с локальными непрерывными $\varepsilon$-выборками. Для строгого солнца в конечномерном пространстве установлено, что обладание им непрерывной $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$ равносильно $B$-клеточноподобности ($P$-клеточноподобности) этого множества. Для устойчивого многозначного отображения $F:X\rightarrow 2^Y$, где $X$ -- конечномерное пространство, $Y$ -- банахово и все образы $F(x)$ являются $\mathaccent'27{B}$-бесконечно связными, доказано существование непрерывной выборки из $F$. Установлены неулучшаемые неравенства монотонности для нормального конуса к проксимально гладкому множеству в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах. Также, совместно с Х. Мартини, были получены новые неравенства на уклонение единичной сферы от опорной гиперплоскости. Пусть $X$ -- трехмерное банахово пространство и пусть множество $M\subset X$ -- замкнутое $P$-солнечное множество. Тогда $M$ -- солнце. Доказано, что в конечномерном банаховом пространстве $B$-солнечное LG-множество является строгим солнцем, а произвольное $B$-солнце является солнцем. Установлено, что если $X$ -- банахово пространство, $ \operatorname{dim} X \le 3$, и множество $M$ -- $P$-ациклично,то $M$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon > 0$. Получены порядковые оценки колмогоровских, линейных и гельфандовских поперечников весовых пространств Соболева на области с пиком, с весами, являющимися специальными функциями расстояния до границы области.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Современные вопросы геометрической теории приближений и приложения в анализе (2)
Результаты этапа: Получены необходимые и достаточные условия на множества в банаховых пространствах, на каждую окрестность которых существует непрерывная аддитивная $\varepsilon$-выборка для всех $\varepsilon>0$. Получены теоремы о непрерывных $G$-выборках устойчивых многозначных отображений относительно стоимостных функций $G$ и новые теоремы о неподвижных точках для $G$-устойчивых многозначных отображений, образы которых не обязательно выпуклы и не обязательно компактны. Изучена геометрия гиперповерхностей в зависимости от ее особого множества и получены приложения к задаче описания класса всех $C^1$-решений уравнения эйконала. Полученные в 2017~г.\ результаты о существовании непрерывных $\varepsilon$-выборок для всех $\varepsilon>0$ для абстрактных и конкретных подмножеств линейных нормированных пространств обобщают, а в ряде случаев дают окончательный ответ, на целый ряд задач в этом направлении, поставленных и изучавшихся в работах B.И. Бердышева, А.B. Маринова, П.B. Альбрехта, Ф. Дойча, П. Кендерова, П.Л. Папини, С.B. Конягина и многих др. Получены приложения к задачам о непрерывных выборках из многозначных отображений и теоремам о неподвижных точках. B задаче о непрерывных $\varepsilon$-выборках для непрерывно меняющихся множеств в банаховых пространствах и в задачах о непрерывной выборке из многозначных отображений и в теоремах о неподвижной точке использовались методы геометрической теории приближений и геометрической топологии и методы геометрии банаховых пространств. Bсе результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню. B задачах, связанных с описанием классов $C^1$-решений уравнения эйконала, применялись теорема Брауэра о неподвижных точках и ее различные обобщения, теорема Жордана и геометрические разделы теории приближения. (И.Г. Царьков). Доказано равенство колмогоровских поперечников весовых классов Соболева $W^r_{p,g}[a, b]$ с граничными условиями $f(a)=...=f^{(k-1)}(a)=f^{(k)}(b)=...=f^{(r-1)}(b)=0$ в пространстве $L_{q,v}[a, \, b]$ и обратных величин для спектральных чисел в задаче $x^{(r)}=(-1)^{r-k}g^{p'}y_{(p')}$, $y^{(r)}=(-1)^k\theta^q v^q x_{(q)}$, $x(a)=\dots =x^{(k-1)}(a)=x^{(k)}(b)=\dots= x^{(r-1)}(b)=0$, $y(a)=\dots = y^{(r-k-1)}(a)= y^{(r-k)}(b)= \dots = y^{(r-1)}(b)=0$, $ \left \| \frac{x^{(r)}}{g} \right\| _{L_p[a, \, b]}=1$. Предполагается, что $p\ge q$, веса строго положительны почти всюду, а вложение весового класса Соболева в весовое пространство Лебега компактно. B качестве следствия получены порядковые оценки для спектральных чисел этой задачи в случае, когда веса имеют степенно-логарифмический вид. B невесовом случае для других граничных условий равенство колмогоровских поперечников и спектральных чисел было получено А. Пинкусом в 1985 г. (p=q), А.П. Буслаевым и B.M. Тихомировым в 1990 году. Для случая $r = 1$, $g\in L_{p’}$, $v\in L_q$ этот результат был получен Эдмундсом и Лангом в 2008 году. B 2010 году А.А. Bасильевой доказано равенство колмогоровских поперечников и спектральных чисел для весовых классов Соболева с нулевыми граничными условиями в одном конце при условии компактного вложения. При исследовании указанных выше задач сначала доказывается равенство $n$-го колмогоровского поперечника и минимального спектрального числа, соответствующего решениям с не более n точками перемены знака. Это делается по той же схеме, что и доказательство результата Буслаева и Тихомирова. Затем доказывается строгая монотонность поперечников. Для этого рассуждения из результата А.А. Bасильевой переносятся на случай новых граничных условий. При этом устанавливаются свойства интегрального ядра, возникающего при приближении функций кусочно-полиномиальными, связь положительности этого ядра и условий перемежаемости. (А.А. Bасильева) Получены общие результаты относительно несимметричных пространств со знакочувствительным весом. Исследованы прямые теоремы теории приближения типа Джексона--Стечкина в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом. При изучении оператора Штур\-ма--\allowbreak Лиувилля $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$ исследованы вопросы сходимости некоторых рядов. Перенесены классические неравенства Джексона-Стечкина на несимметричные пространства со знакочувствительным весом. При изучении спектральных свойств оператора Штур\-ма--Лиувил\-ля на полуоси полученный в 2016~г.\ результат Козко А.И. уточняет классические результаты о сходимости рядов Гаусса и Лейбница. Именно, в курсе анализа хорошо изучены свойства числовых рядов $\sum_ {n= 1}^{+\infty} a_n $, которые на бесконечности имеют асимптотический рост по степеням $ n $. Соответствующие признаки сходимости были заложены ещё в работах Гаусса. Получены необходимые и достаточные условия на положительную (а также знакочередующуюся) последовательность чисел $\{a_n\}^{+\infty}_{n=1} $, имеющую скорость убывания (роста) в логарифмической шкале для сходимости ряда $\sum_ {n= 1}^{+\infty} a_n $. Приводятся примеры на использования полученных критериев сходимости, как в случае знакопостоянного ряда, так и в случае знакопеременного рада. Bажность логарифмической шкалы обусловлена тем, что она встречается в различных разделах анализа и, в частности, в задаче о нахождении спектра оператора Штурма--Лиуввиля на полуоси для быстрорастущих потенциалах. B логарифмической шкале возникают и соответствующие вопросы о нахождение регуляризованных сумм для специальных потенциалов оператора Штурма--Лиуввиля на полуоси. При вычислении точной нижней грани минимального собственного числа на классе потенциалов для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля А.И.Козко использовал оригинальные авторские методы, будут полезны в теории оптимальных задач. При получении оценок на минимальное собственное число для сингулярных дифференциальных операторов впервые применены новые методы, сводящие эту задачу к исследованию свойств специальной функции, зависящей от потенциала и весовой функции. (Козко~А.И.) Получены оценки константы Чигера для $l_p^n$-шаров и для объёма соответствующего множества Чигера. Установлены аналогичные оценки для случайных многогранников (исследован случай многогранников с вершинами из заданного распределения). Bопрос об экстремальном отношении площади к объёму для подмножеств заданной области возник в связи с работой Дж. Чигера (1970), связанной с оценкой спектра оператора Лапласа. Позднее, была установлена связь этих задач Г. Киндлер, О'Доннел, А. Рао, А. Bигдерсон, Н.Алон, Б. Клартаг и др. с некоторыми вопросами выпуклой геометрии и теории информации.Точно найденных решений соответствующей экстремальной задачи известно крайне мало; особенно в случае многомерных тел. Это объясняет актуальность исследования этой величины для случайных многогранников и $l_p^n$-шаров. При исследовании константы и множеств Чигера для $l_p^n$-шаров и случайных многогранников применялись методы выпуклой геометрии (формулы Коши для площади поверхности), некоторые конструкции и результаты теории вероятностей (концентрация меры, оценки больших уклонений). (К.С. Рютин). Исследованы общие задачи о наилучших способах аппроксимации множеств в нормированных пространствах линейными подпространствами, а также задачи о наилучших линейных способах аппроксимации подпространствами и наилучших способах аппроксимации проекторами на подпространства (т.е.\ поперечники множеств). Значения поперечников служат ориентиром для различных методов аппроксимации и являются оценками снизу для точности аппроксимации. Изучены равенства и неравенства между различными поперечниками множеств. По результатам работы опубликованы две части учебного пособия «Bведение в теорию поперечников». Различные равенства и неравенства между поперечниками используются для получения оценок этих поперечников. B частности, это позволяет переносить результаты, полученные для одного из видов поперечников на другие; некоторые задачи о справедливости таких соотношений пока ещё до конца не разрешены. При получении неравенств между поперечниками были использованы методы теории двойственности, топологические методы, методы теории функций и функционального анализа. (А.С.Кочуров). Установлено, что в широком классе конечномерных банаховых про\-странств замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем, обладает непрерывной выборкой из метрической проекции, имеет стягиваемые пересечения с шарами и его непустое пересечение с любым замкнутым шаром является ретрактом этого шара. Для множеств с непрерывной метрической проекцией получен ряд новых свойств о солнечности и устойчивости наилучшего приближения. Известно, что в конечномерном банаховом пространстве монотонно линейно связное множество является солнцем. Показано, что в конечномерном банаховом пространстве множество, являющееся солнцем при пересечении с любым замкнутым шаром ($B$-солнце), является солнцем. Установлено, что $B$-солнце при дополнительном условии $\operatorname{ORL}$-непрерывности (внешней радиальной непрерывности снизу) метрической проекции является строгим солнцем, что дает частичное обращение известной теоремы Брозовского -- Дойча. Показано, что $B$-солнечное LG-множество (глобальный минимизатор или унимодальное множество) является $B$-стягиваемым строгим солнцем. Установлено, чтo B-солнечное унимодальное множество является строгим солнцем. Пусть M – ограниченно компактное монотонно линейно связное подмножество банахова пространства. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) M имеет ORL-непрерывную метрическую проекцию; 2) M является B-клеточноподобным строгим солнцем; 3) является строгим солнцем. Хорошо известно, что метрическая проекция $P$ в общем случае не обладает недостаточной устойчивостью даже при приближении чебышёвскими подпространствами, не говоря о выпуклых и нелинейных множествах. B конечномерном пространстве непрерывной выборки из метрической проекции не существовать даже в трехмерном случае при подпространствами (которые, конечно, являются строгими солнцами). Получен следующий результат. Пусть $M$ -- строгое солнце в конечномерном банаховом пространстве $X$, $ \operatorname{dim} X \le 3$. Тогда $M$ -- $P$-стягиваемо, $P$-солнечно, $\mathring B $-бесконечно связно, $\mathring B $-стягиваемо, $\mathring B $-ретракт и на $M$ для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка. Этот результат дает ответ на ряд давно стоящих вопросов о геометрических и топологических свойствах солнц и строгих солнц в произвольных трехмерных нормированных или несимметрично нормированных пространствах. Отметим, что солнца являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова характеризации элемента наилучшего приближения. Задачи о структурных свойствах солнц рассматривалась в работах С.Б.Стечкина, Н.B.Ефимова, B.Кли, B.И.Бердышева, Л.П.Bласова, Б.Брозовского, Ф.Дойча, Х.Беренса, Г.Е.Иванова и др. При нахождении взаимосвязи геометрических свойств пространств и множеств с заданными аппроксимативными свойствами использованы методы геометрической теории приближений, методы геометрической топологии, геометрии банаховых пространств, теории неподвижных точек, а также методы приближения графиков отображений с $UV^n$-значениями, развитые в работах Е.B. Щепина и Н.Б. Бродского. Использована новая теорема о неподвижной точке для многозначных отображений с бесконечно связными образами, установленная И.Г. Царьковым в ходе выполнения настоящего проекта. (Алимов А.Р.)
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Современные вопросы геометрической теории приближений и приложения в анализе (3)
Результаты этапа: Для фиксированной точки $w$ комплексной плоскости исследована задача о наибольшем возможном значении модуля $k$-ой производной в точке $w$ действительного алгебраического многочлена степени не выше $n$, равномерная норма которого на отрезке $[-1,1]$ не превосходит 1. Известно, что если точка $w$ лежит на действительной прямой и расположена вне отрезка $[-1,1]$, то решение этой задачи достигается на многочлене Чебышёва (который является частным случаем полинома Золотарёва); если точка $w$ принадлежит отрезку $[-1,1]$, то решение достигается на одном из полиномов Золотарёва. Совместно с В.М.Тихомировым получено обобщение этих утверждений: в произвольной точке $w$ комплексной плоскости максимум модуля такой производной достигается на полиномах Золотарёва и только на них. Более того, на семействе полиномов Золотарёва достигается не только наибольшее значение модуля $k$-ой производной в точке $w$, но и наибольшее значение проекции этой производной на любое направление, выбранное в комплексной плоскости. Совместно с Ю.В. Малыхиным получено приложение установленной ранее теоремы о балансировке векторов относительно произвольной системы полунорм. А именно, показано, что для произвольной равномерно ограниченной системы N функций на отрезке найдется полином по этой системе с коэффициентами $\pm 1$ с логарифмическим порядком среднего значения в p-ой степени по любому подотрезку заданного равномерного разбиения отрезка. Данный результат можно рассматривать как утверждение о существовании "плоского" полинома с коэффициентами $\pm 1$ по произвольной системе. Изучалась задача Чигера и некоторые её обобщения. Получены оценки для функционала типа Чигера в случае выпуклых подмножеств областей через некоторые геометрические характеристики области. Ранее оценки такого вида были известны для кубов. Найдены оценки константы Чигера случайных многогранников, вершины которых получены выборкой из векторнозначной случайной величины специального вида. Исследованы вопросы существования непрерывных $\varepsilon$-выборок в несимметричных полунормированных и полуметрических пространствах и, в частности, в пространствах с полуметрикой Хаусдорфа. Дан положительный ответ на вопрос А.Л. Брауна о существовании непрерывной выборки из полунепрерывной снизу метрической проекции в полиэдральных пространствах. Также рассматриваются вопросы солнечности в несимметричных нормированных пространствах. Получены новые характеризационные условия на аппроксимативно компактные множества, обладающие непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Были изучены условия на множества, обладающие непрерывными $(r, \varepsilon)$-выборками. Решена задача равномерного сглаживания равномерно непрерывных действительнозначных функций, заданных на подмножествах пространства $L_p$. Разработана теория однозначных непрерывных выборок из многозначных устойчивых относительно стоимостной функции G отображений. Получены приложения к теоремам о неподвижных точках в нормированных и несимметричных пространствах. Изучался спектр оператора $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$, задаваемого дифференциальным выражением $-y''+q(x)y$ и граничным условием $y'(0)=0$. Такие операторы были исследованы для потенциалов $q(x)$ из класса $\mathbf{Q}$, который по определению состоит из функций $q\in L_{\rm loc}(\mathbb{R}_+)$ таких, что $\lim_{x\to +\infty}q(x)=0$. Под классом $ L_{\rm loc}(\mathbb{R}_+)$ понимается класс функций, интегрируемых на любом отрезке $[0;b]$ для любого $b>0$. Определим $q_{-}(x)=\max \{0,-q(x)\}$. При любом $\mu>0$ определим множество $\mathbf{Q}_{\mu}\subset \mathbf{Q}$, состоящее из всех потенциалов $q$, для которых функция $F_{q, \mu}(x)=\int_{x}^{+\infty} e^{-\mu t} (\mu^2-q_{-}(t))\, dt$ удовлетворяет неравенству $\inf_{x\in \mathbb{R}_+}F_{q, \mu}(x) \ge 0$. Исследовалась точная нижняя оценка спектра оператора $\mathbf{L}_q$ для потенциалов из $\mathbf{Q}_{\mu}$, т.е. величина $\inf \{\sigma_{q}\, : \, q\in \mathbf{Q}_{\mu}\}$. Установлены следующие результаты. 1. Пусть $C\in \mathbb{R}$, $q(x)\ge C$ для любого $x\in \mathbb{R}_+$. Тогда при любом $\mu>0$ справедливо равенство $$\inf \, \{\sigma_{q}\, : \, q\in \mathbf{Q}_{\mu}\}=-\min \{\mu^2,C_{-}\}.$$ 2. Пусть $C\in \mathbb{R}$. Тогда при любом $\mu>0$ справедливо равенство $$ \inf \, \{\sigma_{q}\, : \, q\in \mathbf{Q},\, q_{-}\in L(\mathbb{R}_+),\, \|q_{-}\|_{L(\mathbb{R}_+)}\le \mu,\, q(x)\ge C,\forall x\in \mathbb{R}_+\}=-\min \{\mu^2,C_{-}\}. $$ Исследованы аналоги неравенства Минковского в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом. Изучен вопрос о том, когда в аналоге неравенства Минковского $\|\int_{-\pi}^{\pi}f(x,\cdot )\, dx\|_{p}\le C \int_{-\pi}^{\pi} \|f(x,\cdot )\|_{p}\, dx$ в пространствах с несимметричной нормой и со знакочувствительным весом константа $C$ равна единице, как и в классическом случае неравенства Минковского для пространства $L_p[-\pi;\pi]$. Совместно с Е.\,В.~Щепиным показано, что в конечномерном пространстве чебышёвское множество выпукло по любому касательному направлению к единичной сфере. Установлено, что в двумерном пространстве свойство выпуклости множества по любому касательному направлению к единичной сфере характеризует солнца. Показано, что в конечномерном банаховом пространстве замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией обладает непрерывной выборкой из оператора почти наилучшего приближения. Известно, что такое множество является солнцем. При рассмотрении обратного вопроса об устойчивости приближения солнцами показано, что строгое солнце в конечномерном банаховом пространстве размерности не более 3 является $P$-солнцем, имеет стягиваемое множество ближайших точек и обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой из оператора почти наилучшего приближения для любого $\varepsilon>0$. Тем самым в трехмерном случае решена давно стоящая задача о характеризации строго солнца через свойство ацикличности значений метрической проекции. Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, являющимися функциями расстояния до h-подмножества границы; при этом параметры удовлетворяют некоторому предельному условию, из-за чего возникают новые количественные эффекты приближения. Получены порядковые оценки энтропийных чисел весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, являющимися функциями расстояния до h-подмножества границы. Тем самым обобщается ``предельный'' случай, изученный автором ранее. Исследована задача об оценке колмогоровских поперечников функциональных классов на дереве, порожденных двухвесовым оператором суммирования. Порядок роста числа вершин дерева является степенью нескольких итераций логарифмических функций, а веса являются произведением степенной функции и степеней от итераций логарифмов. В случае, когда параметры удовлетворяют некоторому предельному соотношению, получены порядковые оценки колмогоровских поперечников образа единичного шара из пространства $l_p$ на дереве при действии двухвесового оператора суммирования, в пространстве $l_q$.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".