ИСТИНА

Предлагаемая программа исследований продолжает ряд успешно выполненных членами научного коллектива проектов, в которых помимо получения новых фундаментальных результатов, включая новые методы анализа и оптимизации сложных систем, были решены и ряд интересных задач прикладного характера. В этой программе исследований для решения формулируются задачи, которые естественно возникли при выполнении предыдущих проектов и после их завершения и которые важны в контексте развития новых методов анализа сложных динамических систем с управлением и их оптимизации и перспективны с точки зрения потенциальных приложений. Гетерогенные и распределенные (управляемые) системы доставляют естественные модели процессов в популяционной динамике и эпидемиологии, в эксплуатации возобновляемых ресурсов, в экономике и в социологии и многих других областях науки. Разработка и совершенствование инструментов качественного анализа их динамики и её оптимизации по различным критериям качества (при наличии управления) занимают важное место в математических исследованиях, начиная с работ Эйлера и Мальтуса 18 века и до наших дней. Сегодня актуальность таких исследований, как и во все времена, определяется широким спектром приложений получаемых здесь результатов при решении конкретных прикладных задач или задач прикладного характера. Основными задачами настоящего проекта будет исследование систем с многомерной неоднородностью (физического пространства или структуры системы, показателей динамики, …) при наличии дополнительных факторов типа диффузии и/или межвидовой (внутривидовой) конкуренции и других, влияние которых в совокупности приводит к математическим моделям процессов, доставляемым нелинейными эволюционными дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями, и постановкам для них задач неклассического характера. Особое внимание будет уделено ключевым вопросам разрешимости этих задач, существования стационарных решений и наличия стабилизации к ним при выбранном управлении динамикой. Наличие стабилизации обычно позволяет редуцировать задачи оптимизации динамики на бесконечном горизонте или средней временной оптимизации к оптимизации этих стационарных решений путем выбора надлежащего стационарного управления. Неотъемлемой составляющей этих исследований будут задачи оптимизации изучаемых динамик (процессов), в том числе на бесконечном интервале времени, что в прикладном аспекте особенно важно для моделей рационального природопользования, сохранения биоразнообразия, устойчивого экономического роста и других процессов взаимодействия человека с природой и технологиями. При оптимизации бесконечный горизонт планирования в подобных задачах особенно важен, и, несмотря на активное развитие для них методов оптимального управления в последние годы, теория здесь значительно менее развита по сравнению со случаем задач на конечном промежутке времени. Развитию этой теории, включая методы анализа различных патологий в соотношениях принципа максимума Понтрягина, получение необходимых условий трансверсальности и другим связанным вопросам будет уделено особое внимание в рамках проекта, в том числе будут совершенствоваться метод конечно-временных аппроксимаций и метод игольчатых вариаций, разработанные участниками проекта для таких задач. При помощи этих методов будут получены новые варианты принципа максимума с полным описанием сопряженных переменных, в том числе при наличии дополнительных ограничений на асимптотическое поведение оптимальной траектории, а также для функционалов смешанного типа с терминальным членом, зависящим от предельного значения оптимальной траектории на бесконечности. Полученные результаты и развитые методы будут применены к исследованию конкретных моделей оптимального экономического роста, к получению условий, обеспечивающих устойчивость оптимального экономического роста. Особое внимание в этих исследованиях будет уделено анализу феномена эндогенной периодичности, когда оптимальное управление в моделях эксплуатации ресурсов с естественным воспроизводством является периодическим. Периодичность может возникать здесь не только из-за присутствия её в начальных данных (например, периодической посадке леса либо выпуске молоди), а также эндогенно как результат оптимизации процесса эксплуатации при учёте гетерогенность самой популяции (по отношению к возрасту, размеру или генотипу).

The proposed research program continues a number of projects successfully completed by members of the research team, in which besides fundamental results, including new methods for analysis and optimization of complex systems, a number of interesting applied problems were solved. This program sets for solving problems that naturally arose during the implementation of previous projects and after their completion, and turned out to be important in the context of the development of new methods for analysis of complex dynamic systems with control and their optimization. Heterogeneous and distributed (control) systems provide natural models of processes in population dynamics and epidemiology, in the exploitation of renewable resources, in the economy and in society, and many other areas. The development and improvement of tools for the qualitative analysis of their dynamics and its optimization according to various objective functionals in the presence of control take an important place in mathematical research, from the work of Euler and Malthus of the 18th century to the present days. Today, the relevance of such research, as in all times, is determined by a wide range of applications of the results obtained here in solving applied problems or problems of applied nature. The main objectives of this project will be the study of systems with multidimensional heterogeneity (physical space, structure, dynamics indicators, ...) in the presence of additional factors such as diffusion and / or interspecific (intraspecific) competition and others, whose influence together leads to mathematical models of the processes delivered by nonlinear evolutionary differential or integro-differential equations, and non-classical problem formulation for them. Special attention will be paid to the key issues of solvability of these problems, the existence of stationary solutions and the presence of stabilization to them under the selected control of dynamics. The latter usually allows to reduce the problems of dynamics optimization on an infinite horizon or average time optimization to the one on these stationary soltions by choosing an appropriate stationary control. An integral part of these studies will be the optimization of the dynamics (processes) under the study, including those on an infinite horizon. This is especially valuable for models of environmental management, biodiversity conservation, sustainable economic growth and other processes of human interaction with nature and technology. The optimization on the infinite planning horizon in such problems is especially important, and despite the active development of optimal control methods for them, the theory is much less developed here than in the case of problems on a finite time interval. The development of this theory, including methods for analyzing various pathologies in the Pontryagin maximum principle ratios, obtaining the necessary transversality conditions and other related issues will be given special attention within the project, including the method of finite-time approximations developed by such project participants and the needle-like method. variations. Using these methods, new versions of the maximum principle will be obtained with a complete description of conjugate variables, including the cases with additional restrictions on the asymptotic behavior of the optimal trajectory, as well as for functionals of mixed type with a terminal term depending on the limiting value of the optimal trajectory at infinity. The obtained results and the developed methods will be applied to the study of specific models of optimal economic growth, to obtain the conditions that ensure its sustainability. Special attention in these studies will be given to the analysis of the phenomenon of endogenous periodicity, when the optimal control in the models of resource exploitation with natural reproduction is periodic. Periodicity may occur here not only because of its presence in the initial data (for example, periodic planting), but also endogenously as a result of optimization of the exploitation process while taking into account the heterogeneity of the population itself (in relation to age, size or genotype).

Для гетерогенных и распределенных (управляемых) систем будут изучено влияние многомерной неоднородности (физического пространства или структуры системы, показателей её динамики и.т.п.) и наличия дополнительных факторов типа диффузии и/или межвидовой (внутривидовой) конкуренции и других на разрешимость естественных задач, существование стационарных решений и наличия стабилизации к ним при выбранном управлении динамикой. Наличие стабилизации позволит редуцировать задачи оптимизации динамики на бесконечном горизонте или средней временной оптимизации к оптимизации стационарных решений, доказать теоремы существования оптимальных управлений и разработать алгоритмы их численного построения. В этих исследованиях одним из важнейших случаев является оптимизация на бесконечном интервале времени. Здесь будут получены новые необходимые условия трансверсальности, в том числе усовершенствованы метод конечно-временных аппроксимаций и метод игольчатых вариаций, разработанные для таких задач участниками проекта. При помощи этих методов будут получены новые варианты принципа максимума с полным описанием сопряженных переменных, в том числе при наличии дополнительных ограничений на асимптотическое поведение оптимальной траектории, а также для функционалов смешанного типа с терминальным членом, зависящим от предельного значения оптимальной траектории на бесконечности. Полученные результаты и развитые методы будут применены к исследованию конкретных моделей оптимального экономического роста, к получению условий, обеспечивающих устойчивость оптимального экономического роста. Для изучаемых задач будет изучен феномен эндогенной периодичности, когда периодичность оптимального управления может возникать не только из-за присутствия её в начальных данных, а в результате оптимизации под влиянием гетерогенности (эксплуатируемой популяции). Для интегро-дифференциальных уравнений, доставляющих естественные модели прикладного характера в эконометрике и эпидемиологии, будут доказаны теоремы существования их решений, изучены свойства решений (например, гладкость или монотонность), полученные результаты будут применены к анализу конкретных моделей естествознания и разработать на их основе численные алгоритмы решения задач прикладного характера. Все планируемые к получению фундаментальные результаты соответствуют мировому уровню исследований в тематике проекта или превосходят его. Получение их мотивировано задачами прикладного характера, ряд конкретных прикладных задач будет изучен в рамках проекта на основе полученных результатов, при этом в некоторых случаях будут разработаны и алгоритмы численного решения.

За последние 5 лет руководителем проекта опубликовано 13 работ по тематике проекта, в которых были доказаны теоремы существования стационарных решений в ряде нелинейных эволюционных уравнений, описывающих динамику эксплуатируемых популяций, и проведена оптимизация этих решений (в том числе совместно с членами коллектива А.О.Беляковым и А.С.Платовым). С.М.Асеев является одним из ведущих специалистов в мире по теории оптимального управления на бесконечном интервале времени и методикам применения результатов в этой области к анализу конкретных задач прикладного характера в экономике. А.О.Беляков известен своими результатами по качественному анализу динамических систем с управлением, в теории оптимального управления на бесконечном горизонте, в том числе с естественным появлением периодичности управления при оптимизации, а В.Н.Денисов – теоремами о качественном поведении динамики процессов с диффузией, о стабилизации таких процессов к стационарным состояниям и об оценках соответствующей скорости, что важно для анализа и оптимизации эволюционных процессов при наличии диффузии. Результаты А.С.Платова связаны с анализом стационарных состояний в эволюционных процессах, описывающих динамику популяций при наличии внутривидовой и межвидовой конкуренции, оптимизации этих состояний, а также исследованием влияния популяций на окружающую среду. Е.В.Винниковым получены результаты в анализе множеств достижимости систем с управлением и построении алгоритмов оценки этих множеств. Аспирантка Е.В.Шелепова занимается анализом стационарных решений в динамике популяций при наличии диффузии и оптимизацией этих состояний.