ИСТИНА

Существенными достижениями теории изгибаемых многогранников являются теоремы Александера о постоянстве интегральной средней кривизны изгибаемого многогранника (во всех евклидовых пространствах размерности 3 и выше) и И.Х. Сабитова о постоянстве объёма изгибаемого многогранника (в трёхмерном евклидовом пространстве). В связи с этим очень важной представляется задача о том, какие ещё геометрические характеристики многогранников остаются инвариантными при их изгибаниях. Перечислим лишь несколько хорошо известных кандидатов на звание величины, сохраняющейся при изгибаниях многогранника: (1) любой инвариант Дена (в трёхмерном евклидовом пространстве); (2) объём (в евклидовом пространстве размерности 4 и выше); (3) объём и интегральная средняя кривизна (в пространстве Лобачевского размерности 3 и выше). Далее, теперь известно, что многие геометрические параметры многогранников являются корнями некоторых многочленов, определяемых метрикой и комбинаторным строением многогранника, поэтому задача о связях между алгебраическими свойствами таких многочленов и геометрическими свойствами многогранников или их разверток является актуальной и перспективной темой исследований. Компьютерная проверка изгибаемости многогранника, как правило, сводится к установлению его нежесткости достаточно высокого порядка, что приводит к необходимости исследования связей между существованием бесконечно малых изгибаний различных высших порядков и изгибаемостью многогранника. Кроме того, исследование бесконечно малых изгибаний каркасов тесно связано с вопросами кинематики и деформируемостью системы упругих стержней, что находит важные применения, например, в робототехнике и молекулярной химии. Эти и подобные вопросы будут изучены в ходе выполнения данного проекта.

It is known that for polyhedra in R^3 there are some charasteristics invariant under continuous isometric deformations (volume and mean curvature). Our purpose to investigate the existence of such charasterics in others spaces - multidimensional Euclidean or hyperbolic spaces. Futher all such investigations use now komputer calculations so we need to prpose some programmes for this. The infinitesimal deformations are important in the theory of elasticity. The theory of frameworks are applicable in robotics.

Ожидаемые в конце 2012 года научные результаты: Соответственно общему плану исследований ожидается получение следующих результатов. 1) Описание метрических соотношений, характеризующих октаэдры Брикара 3-го типа. 2) Вычисление коэффициентов канонического многочлена объема для октаэдра Брикара 3-го типа в доступных для компьютеров случаях. 3) Доказательство утверждения, что почти для всех нежестких многогранников их объем является кратным корнем многочлена для объема (это исследование будет совместным с австрийскими коллегами). 4) Указание некоторых необходимых или достаточных условий для определения возможности или невозможности наложения друг на друга двух изометричных многоугольников с небольшим числом сторон. 5) Получение в гиперболическом пространстве описаний изгибаемых подвесок на основе использования перенесенного в гиперболическое пространство метода Коннелли исследования изгибаемых подвесок. 6) Поскольку эта тема является полностью «пионерской», то пока только можно сказать, что ожидается подтверждение или опровержение в некоторых случаях гипотезы Стокера о том, что двугранные углы многогранника определяют плоские углы его граней.

В.А. Александров построил торообразный изгибаемый многогранник, показал, что в сферическом пространстве изгибаемый многогранник не обязательно сохраняет свой объём в процессе изгибания, нашёл достаточные условия продолжимости бесконечно малого изгибания многогранника в «настоящее» изгибание и изучил изгибаемые многогранник в трёхмерном пространстве Минковского. С.Н. Михалёвым изучена структура изгибаемых подвесок [5] и предложен новый алгоритм изометрической реализации многогранной метрики, дающий возможность найти все многогранники сферического рода с данной натуральной разверткой. И.Х. Сабитовым доказано постоянство объёма изгибаемого многогранника в процессе его изгибания и предложено алгоритмическое решение проблемы изометрической реализации двумерной многогранной метрики в виде многогранника в трехмерном пространстве , пригодное для нахождения неизгибаемых реализаций метрики независимо от рода многогранника. Используя методы проективной геометрии и кинематической теории механизмов Х. Штахель построил изгибаемые октаэдры в трёхмерном пространстве Лобачевского и четырёхмерном евклидовом пространстве . Все упомянутые результаты являются оригинальными, для их получения были развиты новые нетривиальные методы. Как результаты, так и методы получили международное признание.

Полученные важнейшие результаты: 1) Доказано, что в трёхмерном пространстве Лобачевского и трёхмерном сферическом пространстве существуют (невыпуклые) многогранники, которые допускают непрерывные деформации, не изменяющие их двугранных углов (назовем такие многогранники DAP-деформируемыми – от английского “dihedral angles preserving”). Эти многогранники в некотором смысле являются двойственными к изгибаемым многогранникам. Показано, что DAP-деформируемые многогранники обладают многими нетривиальными свойствами и их теория обещает быть столь же интересной, как и теория изгибаемых многогранников. Скажем, естественно спросить, какие геометрические характеристики DAP-деформируемых многогранников остаются инвариантными или, наоборот, изменяются в ходе таких деформаций?. Например, показано, что их объем является инвариантным, а средняя кривизна многогранника или гауссовы кривизны некоторых вершин могут не быть инвариантными. Кроме того, оказалось, что в обоих пространствах существуют их замощения посредством конгруэнтных многогранников таких, что эти многогранники допускают непрерывные DAP-деформации, причём каждый многогранник, получаемый в ходе деформации, в свою очередь позволяет замостить всё пространство своими конгруэнтными копиями. 2) Показано, что метод Коннелли исследования изгибаемости подвесок (или бипирамид) , примененный им в трехмерном евклидовом пространстве, переносится на пространство Лобачевского. С использованием этого метода получено необходимое условие изгибаемости невырожденной подвески в пространстве Лобачевского, состоящее в том, что некоторая линейная комбинация длин рёбер экватора, взятых со знаком «плюс» или «минус» каждая, должна равняться нулю. 3) Показано, что почти для всех нежестких многогранников их объем является кратным корнем многочлена объема. Здесь слово «почти» означает, что для справедливости этого свойства достаточно, чтобы вариация объема при бесконечно малом (б.м.) изгибании не равнялась нулю (а ее равенство нулю требует выполнения некоторого дополнительного алгебраического уравнения, поэтому почти для всех б.м. изгибаний первая вариация объема отлична от нуля). 4) Исследована задача о возможности наложимости друг на друга двух плоских изометричных многоугольников с одинаковым индексом при условии сохранения индекса в ходе изгибания. Задача оказалась весьма непростой и с многочисленными ограничениями на возможные ответы (т.е., во-первых, такое наложение возможно не всегда, во-вторых, условия возможности/невозможности не выражаются аналитически априорными условиями и поэтому можно предложить только алгоритмы решения проблемы). К настоящему времени разработан теоретический алгоритм для проверки возможности/невозможности такого наложения, который реализован в работающих программах для 4- и 5- угольников. 5) Найдены новые соотношения между длинами ребер изгибаемого октаэдра Брикара 3-го типа и с их учетом, а также с учетом результатов п.3) установлено равенство нулю некоторых коэффициентов многочлена объема (а гипотеза в том, что равны нулю все коэффициенты, кроме старшего). 6) Составлена программа с визуализацией для графического представления топологического типа конфигурационного пространства плоских 4- и 5- угольников с данными длинами в двух вариантах (статический вариант – даны все длины, динамический вариант – одна длина изменяется от ее максимально возможного значения до значения 0). Постоянная ссылка для скачивания этой программы доступна на подготовленном в ходе выполнения проекта интернет-ресурсе http://ipolyhedron.livejournal.com 7) Найдены два новых класса неизгибаемых многогранников – пирамиды любого топологического строения в пространствах постоянной кривизны произвольной размерности и подвески рода g>0 в 3-х мерном пространстве постоянной кривизны. 8) Предложен эффективный алгоритм для нахождения многочлена объема пирамид с n вершинами в пространствах постоянной кривизны произвольной размерности с явным выписыванием этого многочлена в случаях n<8.