ИСТИНА

Будут рассмотрены две конкретные задачи – изометрические вложения в R^3 локально евклидовых метрик, изометрически погружаемых в стандартную евклидовую плоскость, и бесконечно малые изгибания поверхностей вращения с уплощениями в полюсах. Первая задача уже решена ранее в работах руководителя проекта цилиндрическими вложениями указанных метрик, сейчас же мы хотим искать вложения в виде остальных двух типов развертывающихся поверхностей – конусов и торсов. Во второй части исследование локальной проблемы нахождения бесконечно малых изгибаний окрестности полюса с уплощением сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с обращением в нуль коэффициента при старшей производной, и у нас есть метод сведения этой проблемы в аналитическом случае к решению диофантового уравнения Пелля, а мы хотим, во-первых, получить признаки жесткости 2-го порядка, во-вторых, через локальное исследование получить признаки жесткости компактной поверхности вращения с двумя полюсами.

We'll consider two problems: isometric embeddings of locally Euclidean metrics in R^3 and infinitesmal deformations of rotational surfaces with flattening at poles using a reduction of the problem to a system of Diophantus equations.

1) Будут получены признаки существования/несуществования жесткости 2-го порядка для аналитических поверхностей вращения с уплощением в полюсах (локальный и глобальный варианты). 2) Для некоторых классов поверхностей вращения будут установлены необходимые или достаточные условия существования нескольких фундаментальных полей бесконечно малых изгибаний 1-го порядка. 3) Будет дано доказательство существования изометрического погружения в R^3 двусвязной области с локально-евклидовой метрикой конического типа, более развернутое и уточненное по сравнению с имеющимся в литературе.

Поверхностям с л.е. метрикой и б.м. изгибаниям посвящено много работ руководителя проекта с российской стороны. Непосредственно относящиеся к теме проекта разработанные им методы уже описаны в п. 35.4. Предлагаемые украинской группой задачи тоже давно входят в круг научных интересов участников проекта. По уравнению Монжа-Ампера с квадратичной правой частью, когда число переменных равно 2, опубликована статья Ю.А.Аминова с соавторами. Соруководитель проекта с украинской стороны Ю.А. Аминов является одним из основателей современной теории грассманова образа многомерных подмногообразий. Ю.А. Аминовым и В.А. Горькавым опубликовано более 15 статей, посвященных теории грассманова образа. [1] И.Х. Сабитов. О жесткости гофрированных поверхностей вращения // Матем. зам. - 1973. -14, № 4. - с. 517 - 522. [2] И.Х. Сабитов Жесткость 2-го порядка желобов вращения класса // Вестник МГУ, сер. 1. Математика. Механика. - 1975. - 5. - с. 47 - 52 (совместно с Н.Г. Перловой). [3] И.Х. Сабитов. О бесконечно малых изгибаниях желобов вращения.I. // Матем. сборн. - 1975.- 98, № 1.- c. 113 - 129. [4] И.Х. Сабитов. Бесконечно малые изгибания желобов вращения // Тезисы докладов на 6-й Всесоюзн. геометр. конференции. - Вильнюс, 1975.- с. 212. [5] И.Х. Сабитов. Возможные обобщения леммы Минагава-Радо о жесткости поверхности вращения с закрепленной параллелью // Матем. зам.- 1976.- 19,№ 1. - c. 123 - 132. [6] И.Х. Сабитов. О бесконечно малых изгибаниях желобов вращения.II. // Матем. сборн.- 1976.- 99,№ 1.- c. 49 - 57. [7] И.Х. Сабитов. Изометрическое погружение локально-евклидовых метрик в // Cиб. мат. журнал. - 1985. - 26, № 3. - c. 156 - 167. [8] И.Х. Сабитов Исследование жесткости и неизгибаемости аналитических поверхностей вращения // Вестник МГУ, сер. 1. Математика. Механика. - 1986. – 5 .- с. 29 - 36. [9] И.Х. Сабитов. Бесконечно малые изгибания 2-го порядка с уплощением в полюсе // Матем. зам. 1989. - 45, № 1. - с. 28 - 35 (совместно с И. Ивановой-Каратопраклиевой).

В 2013 г. получены теоремы о бесконечно малых (б.м.) изгибаниях 2-го порядка поверхностей вращения с уплощениями в полюсах, как «в малом», так и «в целом», причем исследование начинается с минимально возможной гладкости класса C^1 и для поверхности, и для изгибаний. Для заданной в круговом кольце локально-евклидовой (л.-е.) метрики с цилиндрическим типом неоднозначности ее изометрического отображения в R^2 доказано существование изометрического вложения в R^3 в виде цилиндрической поверхности, при некотором дополнительном условии на изометрический образ в R^2, с приведением алгоритма построения такой поверхности. Совместно с украинскими коллегами получены первые результаты об описании изолированных особенностей решений тривиального уравнения Монжа-Ампера. В 2012 г. для поверхностей вращения с уплощениями в полюсах были получены теоремы об их б.м. изгибаниях 1-го порядка с установлением ряда достаточных условий неизгибаемости таких поверхностей, а также была доказана теорема о существовании изометрического вложения в R^3 в виде конических поверхностей для л.-е. метрик, допускающих изометрическое погружение в R^2. Дополнительно к плану была опубликована статья о некорректной краевой задаче Маркушевича, имеющей некоторые приложения в теории б.м. изгибаний поверхностей.