ИСТИНА

Проект направлен на решение ряда актуальных проблем теории функций вещественного и комплексного переменного и связанных с ними задач гармонического анализа; некоторые результаты при этом будут иметь завершающий характер. Будут получены новые оценки снизу минимума модуля на окружностях аналитических и целых функций, уточняющие классические результаты Адамара, Бореля, Вимана, Литтлвуда, Пойа, Хэймана. При этом предполагается разработать новый метод, привлекающий специальные интерполяционные формулы и полиномы Чебышева. Будут найдены точные области однолистности на подклассах голоморфных отображений круга (полуплоскости) в себя. Эти результаты станут завершающими в целом направлении исследований, начатых Ж. Валироном, Э. Ландау и продолженных в настоящее время Х. Поммеренке, Й.Беккером, В.В. Горяйновым. Другое направление проекта связано с исследованием поведения в окрестности нуля сумм сходящихся тригонометрических рядов. Будут получены точные двусторонние оценки сумм для класса рядов по синусам с выпуклыми медленно меняющимися коэффициентами, усиливающие классические результаты С. Алянчича, Р. Боянича, М. Томича. Будут получены оценки снизу для сумм рядов по синусам на классе alpha-монотонных (1<alpha<2) последовательностей, решающие задачу М.И. Дьяченко. Существенное внимание планируется уделить исследованию вопросов единственности для рядов по системам характеров нульмерных компактных групп (абелевых и неабелевых), а также для мартингальных последовательностей. Будет изучена связь этих вопросов с комбинаторно-алгебраическими свойствами мер на упомянутых группах, а также с топологическими свойствами вероятностных пространств с фильтром. В тесной связи с вопросами единственности находятся задачи гармонического анализа, связанные с восстановлением коэффициентов ортогональных разложений по их сумме. Для решения такого рода задач будут построены и изучены обобщения интегралов Лебега и Бохнера. Cледующее направление исследований в рамках проекта состоит в изучении свойств разложений по ортогональным системам, фреймам, а также свойств орторекурсивных разложений. Будут получены условия сходимости почти всюду орторекурсивных разложений, исследована связь орторекурсивных разложений с разложениями по фреймам и проведено сравнение скорости сходимости. Планируется изучение интегралов хенстоковского типа на топологических пространствах с мерой. Будут построены интегралы по радоновским мерам на произвольных хаусдорфовых пространствах и найдены условия слабой компактности семейств радоновских и вероятностных мер, обобщающие известный критерий Ю.В. Прохорова. Ожидаемые результаты внесут вклад в развитие теории целых функций, геометрической теории функций комплексного переменного, теории обобщенных интегралов, теории множеств единственности, многомерного гармонического анализа.

The project is aimed at solving actual problems of function theory of real and complex variable and related problems of harmonic analysis; some of the results will have a final character. It is expected to obtain new lower estimates of the minimum value of the modulus of the analytic and entire functions on the circles, which refining the classical results of Hadamard, Borel, Wiman, Littlewood, Poia, Hayman. At the same time, it is proposed to develop a new method involving special interpolation formulas and Chebyshev polynomials. Sharp domains of univalence on subclasses of holomorphic mappings of the disk (half-plane) into itself will be found. These results will complete the whole line of research begun by J. Valiron, E. Landau and currently continued by H. Pommerenke, J. Becker, and V.V. Goryainov. Another direction of the project is related to the study of the behavior near zero of the sums of convergent trigonometric series. Sharp two-sided estimates of the sums for the class of sine series with convex slowly varying coefficients, reinforcing the classical results of S. Alancic, R. Boyanic, M. Tomich, will be obtained. Lower estimates for the sums of sine series on the class of alpha-monotonic (1<alpha <2) sequences that solve the problem of M.I. Dyachenko will be obtained. It is planned to devote considerable attention to the study of uniqueness questions for series in character systems of zero-dimensional compact groups (Abelian and non-Abelian), as well as for martingale sequences. We will study the connection of these questions with the combinatorial-algebraic properties of measures on the mentioned groups, as well as with the topological properties of probability spaces with a filter. In close connection with questions of uniqueness are problems of harmonic analysis associated with the recovery of the coefficients of orthogonal expansions from their sum. To solve such problems, generalizations of the Lebesgue and Bochner integrals will be constructed and studied. The next direction of research within the project is to study the properties of expansions with respect to orthogonal systems, frames and also the properties of orthorecursive expansions. Conditions for the convergence almost everywhere of orthorecursive expansions will be obtained, the connection between orthorecursive expansions and expansions with respect to frames will be investigated and the rate of convergence will be compared. 
The study of Hanstock type integrals on topological spaces with measure is planned. We will construct integrals over Radon measures on arbitrary Hausdorff spaces and find conditions for weak compactness of families of Radon measures and probability measures that generalize the well-known criterion of Yu.V. Prokhorov. The expected results will contribute to the development of the theory of entire functions, the geometric theory of functions of a complex variable, the theory of generalized integrals, uniqueness sets theory, multidimensional harmonic analysis.

Предполагается получить следующие новые результаты, представляющие существенный интерес для специалистов по теории функций и гармоническому анализу и как в России, так и за рубежом. 1. Ожидается получение результатов по следующей экстремальной задаче. Берутся заданные числа q\in (0, 1) и d>0 и оценивается снизу наибольшее значение m(f, r) по r\in [qR,R] через какую-либо норму функции f на окружности AR, A>1, возведенную в отрицательную степень (-d). При каких A>1 такая оценка возможна, а при каких невозможна, если рассматривать функции f с условием нормировки f(0)=1? А.Ю. Поповым в статье «Новая оценка снизу минимума модуля аналитической функции» (Челяб. физ.-матем. журн., 4:2 (2019), 155–164) в частном случае d=1, q=1/3 получена оценка снизу m(f, r) через -1-ую степень H^1-нормы в пространстве функций, аналитических в круге радиуса |z|<3R и доказано, что оценка снизу через -1-ую степень H^{\infty}-нормы в круге |z|<(11/6)R уже невозможна. Планируется получить результат такого типа для произвольных значений q\in(0, 1) и d>0. 2. Планируется получить усиление упомянутой выше оценки минимума модуля целой функции экспоненциального типа А.О. Гельфонда и обобщить (с указанием всех постоянных) на целые функции порядка /ro нормального типа. Также будет исследовано, что может дать в этих вопросах метод М.А. Евграфова. 3. Планируется получить оценки снизу минимума модуля целых функций с корнями, расположенными на одном луче, учитывая специфику этого подкласса функций. 4. Будет получена неулучшаемая по порядку оценка сверху модуля производной суммы ряда по синусам с выпуклыми коэффициентами. 5. Будет получено уточнение теоремы С.А. Теляковского. 6. Будут получены точные двусторонние оценки сумм для класса рядов по синусам с выпуклыми медленно меняющимися коэффициентами, усиливающие классические результаты С. Алянчича, Р. Боянича, М. Томича. 7. Будут получены точные двусторонние оценки сумм некоторых классов рядов по синусам с монотонными и квазимонотонными коэффициентами. Эти оценки станут усилением результатов Попова А.Ю., Солодова А.П. 8. Будут получены оценки снизу для рядов по синусам на классе alpha-монотонных (1<alpha<2) последовательностей (этот класс занимает промежуточное положение между классом монотонных последовательностей и классом выпуклых последовательностей). Полученный результат станет решением задачи Дьяченко М.И., поставленной в работе “Тригонометрические ряды с обобщенно-монотонными коэффициентами”, Изв. вузов. Матем., 1986, № 7, 39–50; Soviet Math. (Iz. VUZ), 30:7 (1986), 54–66. 9. Будут найдены точные области однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками, имеющих ограничение на значение угловой производной в граничной неподвижной точке. Этот результат усилит теорему В.В. Горяйнова и станет аналогом классической теоремы Э. Ландау. 10. Будет решена задача описания тейлоровских коэффициентов в классе голоморфных функций, отображающих единичный круг в себя и имеющих внутреннюю и две граничные неподвижные точки. При этом будет выявлено влияние угловых производных в граничных неподвижных точках. Полученные результаты станут аналогом классической теоремы И. Шура. 11. Будет решена задача дифференцируемости интералов хенстоковского типа в банахово-значном случае и зависимости дифференциальных свойств от структуры пространства. При этом дифференцирование будет рассматриваться относительно различных дифференциальных базисов. Решение задачи будет применено к вопросам представления функций по системам характеров компактных групп, при этом будет рассмотрен и случай неабелевых нульмерных групп (в этом случае характеры определяются как следы матриц унитарных неприводимых представлений). 12. На случай неабелевых нульмерных групп будут обобщены некоторые результаты о представлении функций и о свойствах множеств единственности рядов по системам характеров, в частности, предполагается решить проблему категории для множеств единственности на указанном классе групп. 13. В области изучения свойств обобщенных интегралов будет установлено обобщенное свойство Хаке для интегралов хенстоковского типа, определенных в топологическом пространстве с мерой. 14. Будет построен класс перестановок систем Виленкина и множеств единственности для таких переставленных систем. 15. Будет поставлена и решена задача о восстановлении суммируемой функции f и ее ряда Фурье-Виленкина по значениям f на специальных множествах неполной меры и по некоторой информации о поведении ее ряда Фурье в счетном числе точек (задача «смешанного типа», промежуточного между задачами теории сходимости и теории единственности). Последний результат в определенном смысле значительно сильнее, чем теоремы единственности классического типа (теоремы типа Валле-Пуссена). 16. Будут изучены топологические структуры на вероятностных пространствах с фильтром и получены результаты о единственности для мартингальных последовательностей с заданной скоростью роста. 17. Будут построены континуальные множества единственности для кратных рядов по системам характеров произвольных нульмерных компактных абелевых групп, а также многомерные обобщенные интегралы, решающие задачу восстановления коэффициентов таких рядов. 18. Будут получены результаты, относящиеся к нахождению границы между единственностью и неединственностью для перестановок кратной системы Хаара при сходимости по регулярным прямоугольникам. 19. Будут получены результаты по общим свойствам орторекурсивных разложений и по сходимости функциональных орторекурсивных разложений, в частности по вопросам сходимости в различных метриках и по сходимости почти всюду. Ожидаются также результаты по свойствам сходимости разложений по конкретным функциональным системам. 20. На основе полученных ранее характеризаций типа теоремы Рисса о представлении ограниченного линейного функционала интегралов по различным классам радоновских мер на произвольных хаусдорфовых пространствах, ожидается получение критериев, достаточных условий и необходимых условий слабой компактности семейств радоновских и вероятностных мер, обобщающих известный критерий Ю.В. Прохорова.