ИСТИНА

Будет продолжено исследование алгебраических и комбинаторных свойств и инвариантов матриц над различными алгебраическими структурами. Будут исследованы - многомерный (цветной) скрамблинг-индекс графа и матрицы, - графы отношений алгебр, в частности, неассоциативных, и связанные с ними инварианты, - отображения матриц и графов, сохраняющие отношения и /или числовые характеристики, - отношение С-коммутативности на матричной алгебре (АВ=СВА, где С - некоторая матрица), - функция длины алгебры, - интегрируемость матриц.

The investigation of algebraic and combinatorial properties and matrix invariants over various algebraic structures will be continued. The following topics will be investigated: - multidimensional (color) scrambling index of a graph or a matrix, - relation graphs for algebras, in particular, for non-associative algebras, and related invariants, - mappings of matrices and graphs preserving relations and / or numerical characteristics, - the relation of C-commutativity on the matrix algebra (AB = CBA, where C is some matrix), - the length function of algebras, - integrability of matrices.

Планируется получить следующие конкретные научные результаты по каждому из рассматриваемых в проекте направлений. Верхние и нижние оценки цветного скрамблинг-индекса графа и матрицы в терминах числа вершин графа и числа цветов его раскраски, соответственно, в терминах размера матрицы и количества матриц в наборе, а также в терминах так называемых достижимых подграфов. Известно, что скрамблинг-индекс графа не превосходит его экспоненту и, в некоторых случаях, равняется ее половине. Планируется получить более точные оценки скрамблинг-индекса через экспоненту, а также формулы, связывающие их для графов специального вида. Будут получены оценки цветного скрамблинг-индекса через цветную экспоненту и связывающие их формулы. Полученные оценки планируется использовать для изучения порога синхронизируемости конечного автомата, в том числе, для построения новых примеров медленно синхронизируемых автоматов. Характеризация изолированных вершин и связных компонент графа отношения ортогональности прямых сумм ассоциативных колец в зависимости от наличия делителей нуля в слагаемых. Предполагается, что диаметр каждой связной компоненты может принимать значения 1, 2, 3, или 4. Описание структуры графа ортогональности произвольной вещественной алгебры Кэли-Диксона. Характеризация неизоморфных алгебр Кэли-Диксона в терминах подграфов определенной структуры этого графа. Описание дважды альтернативных делителей нуля в произвольных вещественных алгебрах Кэли-Диксона, критерии C-эквивалентности и O-эквивалентности элементов. Установление связей между централизатором и ортогонализатором элемента произвольной вещественной алгебры Кэли-Диксона и применение полученных результатов к описанию графа коммутативности этой алгебры. Исследование числовых и комбинаторных инвариантов простых сборных графов, в частности, получение оценок сборного числа и рода и характеризация экстремальных случаев, свойства двусторонней аддитивности таких графов, в терминах инвариантов соответствующих матриц. Полная характеризация линейных или аддитивных отображений матриц и графов, сохраняющих цветной скрамблинг индекс. Планируется доказать, что они исчерпываются домножением на перестановочную матрицу слева и транспонированную к ней справа. Характеризация отображений, сохраняющих отдельные значения цветного скрамблинг индекса. Улучшение оценок границы подряд идущих значений перманента (0,1) матриц, исследование свойств делимости перманентов (0,1) и (-1,1) матриц, исследование делимости и наибольших значений перманентов симметрических (0,1) и (-1,1) матриц и кососимметрических (-1,1) матриц. Полная характеризация аддитивных отображений матриц, сохраняющих перманент. Доказательство отсутствия аддитивных отображений, конвертирующих перманент в определитель на полной матричной алгебре. Исследование аддитивных небиективных отображений, конвертирующих иммананты. Исследование аддитивных отображений, конвертирующих иммананты, на алгебрах симметрических и кососимметрических матриц. Характеризация линейных и аддитивных отображений, сохраняющих отношения Грина на полной матричной алгебре. Доказательство биективности отображений, сохраняющих J, H и D-отношения. Доказательство того, что отображения, сохраняющие отношения L и R, совпадают с отображениями, сохраняющими множество матриц ранга 1, а значит, имеют соответствующий вид, в частности, среди них есть небиективные. Характеризация матриц, С-централизатор которых нулевой и описание С-централизаторов диагональных матриц, оценки размерности C-централизатора диагонализуемой матрицы, верхняя оценка на ранги матриц, принадлежащих рассматриваемому централизатору. Вычисление длины 2-порожденных С-коммутативных матричных подалгебр. Вычисление длин групповых алгебр некоммутативных групп, размерности неприводимых представлений которых над данным полем ограничены числом 3. Точные верхние оценки длины неассоциативных квадратичных алгебр. Предполагается, что оценка будет дана в терминах чисел Фибоначчи. Описание реализуемых и нереализуемых значений длины, а также классификация характеристических последовательностей, возникающих у квадратичных алгебр. Оценки длины и свойства характеристических последовательностей конечномерных неассоциативных алгебр, учитывающие максимальную степень минимального аннулирующего многочлена ее элементов. Верхние и нижние оценки длины матричной алгебры, рассматриваемой как алгебра Ли и как йорданова алгебра. Оценки длины алгебры в терминах инвариантов графа этой алгебры для неассоциативных алгебр и для групповых алгебр конечных групп, использование различных свойств графа для оценок длины. Характеризации интегрируемых диагонализуемых матриц в терминах кратностей их собственных значений: полная классификация тех кратностей, при которых матрица интегрируема или неинтегрируема, независимо от конкретных значений, а также кратностей, для которых существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые матрицы, в зависимости от значений. Характеризация интегрируемости для недиагонализуемых матриц в зависимости от структуры их жордановой нормальной формы.

Опубликован ряд статей в ведущих международных журналах, в частности, за последние 3 года 24 публикации в изданиях, индексируемых в Web of Science Core Collection, Scopus, из них 7 публикаций в изданиях, входящих в первый квартиль.

При выполнении работ по проекту получены следующие основные результаты: 1. Исследованы свойства делителей нуля в вещественных алгебрах Кэли-Диксона, важного класса неассоциативных алгебр, включающего октонионы, седенионы и дальнейшие их расширения. Получена классификация таких пар делителей нуля, что компоненты первого элемента строго альтернируют с компонентами второго элемента и компоненты каждого из элементов имеют равные по модулю и отличные от нуля нормы. Для алгебр главной последовательности показано, что любую такую пару делителей нуля можно продолжить до ориентированного шестиугольника в графе делителей нуля алгебры Кэли-Диксона. Любые две соседние вершины шестиугольника также удовлетворяют указанным свойствам. Кроме того, если все компоненты вершин шестиугольника попарно строго альтернируют, то в шестиугольнике нет хорд. Этот результат позволил в частности найти базис в алгебре седенионов, имеющий удобную таблицу умножений. 2. Простые сборные графы используемых для описания эпигенетических геномных перестроек и имеют как практическое, так и теоретическое значение. Получены оценки сборного числа и рода простого сборного графа с заданным числом вершин, ребер и петель, а также исследовано, какие значения могут принимать ранг и перманент матрицы инцидентности, ранг, перманент и определитель матрицы смежности простых сборных графов. 3. Отношения Грина являются важными и активно изучаемыми отношениями эквивалентности на полугруппах. Особое внимание они привлекают в случае полугрупп матриц. Завершена классификация линейных биективных отображений матриц над полуполем, сохраняющих каждое из отношений Грина и соответствующие предпорядки. Исследованы также небиективные отображения и получена полная их классификация для всех полей, содержащих корень любого многочлена степени n, где n - порядок матриц. В частности, для матриц нечетного порядка над полем вещественных чисел. Для некоторых полей, не удовлетворяющих предыдущему условию, в частности, для поля вещественных чисел при порядке матриц, равном 2, 4, 8, предъявлены примеры отображений, сохраняющих отношения H, R и L, но не имеющих указанный вид. 4. Улучшена в 2 раза нижняя оценка границы подряд идущих значений перманента (0,1) матриц. Определены асимптотики верхних границ перманентов симметрических (0,1) и (-1,1) матриц и кососимметрических (-1,1) матриц, не делящихся на заданное натуральное число. 5. Получена характеризация матриц, С-централизатор которых нулевой, и явное описание С-централизатора диагональной матрицы. Найдены верхние и нижние оценки размерности C-централизатора диагонализуемой матрицы и получена оценка сверху ранга принадлежащих ему матриц в зависимоти от ранга исходной матрицы. 6. Существенно расширен набор знаний о функции длины для групповых алгебр неабелевых групп и для некоторых классов неассоциативных алгебр. В частности, получены явные формулы для длины групповой алгебры знакопеременной группы A_4, для нечетных простых p получены верхние оценки длины групповых алгебр групп порядка p^3 над полями характеристики p. Получены точные верхние оценки длины неассоциативных квадратичных алгебр. Показано, что длина алгебры размерности n не превосходит (n-1)-ое число Фибоначчи F_{n-1} и для каждого n построен пример неассоциативной квадратичной алгебры, длина которой равняется F_{n-1}. Охарактеризованы характеристические последовательности квадратичных алгебр, как во внутренних терминах: числовые последовательности, удовлетворяющие заданному набору свойств, так и во внешних: аддитивные цепочки, не содержащие равных слагаемых. Описаны структурные свойства неассоциативных алгебр длины 1. 7. Получена характеризация интегрируемых диагонализуемых матриц в терминах кратностей их собственных значений, а именно, найдена полная классификация тех наборов кратностей собственных значений, при которых матрица интегрируема или неинтегрируема независимо от конкретных значений, а также кратностей, для которых существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые матрицы, в зависимости от значений.