ИСТИНА

Проект посвящен развитию математических моделей сложных систем, связанных с современными экономическими процессами, а также развитию аппарата для их анализа и разработке методов решения. Используются аналитические и численные методы, базирующиеся на теории оптимизации, теории оптимального управления, теории управления систем с обратной связью.

The project aims to develop mathematical models of complex systems describing modern economic processes, together with approaches for their analysis and methods to solve those models. Analytical and numerical methods based on optimization theory, optimal control theory, and feedback control theory are being used.

1) В рамках проекта планируется рассматривать задачи поиска оптимальных стратегий эксплуатации популяций, описываемые с помощью структурированных моделей, задаваемых уравнениями с частными производными первого порядка при наличии нелокальных граничных условий, описывающих прирост популяций. В данном проекте будут развиваться модели, позволяющие получать оптимальные стратегии для реальных систем, в том числе, относящихся к лесному хозяйству и рыболовству. Будут учтены различные варианты прироста популяции, а также различные 2 возможности эксплуатации возобновляемых ресурсов. Данное направление является новым в моделировании динамики биологических ресурсов. Планируется разработка методов анализа таких задач, а также поиск стратегий эксплуатации оптимальных не только с экономической точки зрения, но также с учетом экологической составляющей, что является особо актуальным в связи с постоянно растущей нагрузкой на возобновляемые ресурсы нашей планеты. С этой целью с использованием свёрточного подхода задача будет сведена к задаче оптимизации в функциональном пространстве, которую, из-за наличия ограничений, предполагается решать с использованием экстраградиентного метода. 2) Получение робастных стратегий использования ограниченных природных ресурсов – таких, как вода – чрезвычайно актуальная задача с учетом возрастающего спроса, создаваемого растущим населением и производством, на экосистемные услуги и становящихся более ощутимыми климатических изменений, ведущих к истощению водных запасов и большей вариабельности осадков. С использованием методов стохастической оптимизации, включающих в себя ограничения на вероятность наступления нежелательных событий (недопроизводство энергии и продовольствия), будут получены робастные стратегии и проанализирована их выгода по сравнению с традиционно используемыми детерминистскими решениями. Также оцениваются потери от неопределенности, то есть робастное решение сравнивается с решением в (гипотетических) условиях полной информации. Хотя методы стохастической оптимизации были разработаны в 70-х годах, до сих пор они не нашли широкомасштабного применения в прикладных задачах оптимизации распределения ресурсов, что вызвано в том числе тем, что для их применения требуется знание вероятностного распределения входных неопределенностей. В данном проекте будет протестирована возможность использования исторических данных для восстановления эмпирической функции распределения вероятности доступности водных ресурсов. 3) Ввиду повсеместно нарастающих экологических проблем, актуальной задачей также является анализ оптимальных стратегий экономического роста с учетом отрицательной обратной связи с качеством окружающей среды. Анализ соответствующих моделей предполагает решение задач оптимального управления на бесконечном горизонте времени при помощи необходимых и достаточных условий оптимальности, в том числе, в форме принципа максимум Понтрягина. Включение качества окружающей среды не в уравнения, а непосредственно в целевой функционал, является новым подходом, позволяющим описывать нематериальную ценность окружающей среды для человечества. 4) Задачи, подразумевающие синхронизацию совместной работы большого количества агентов, весьма актуальны, поскольку позволяют достичь ряд преимуществ, в том числе: упрощение элементов системы, снижение стоимости, повышение гибкости и адаптируемости системы, повышение её устойчивости к повреждению элементов. Для решения соответствующей задачи синхронизации вектора состояния требуется применять и развивать методы фильтрации и оценивания. Для решения связанной с ней задачи восстановления полного вектора состояния в условиях неопределенности предполагается использовать наблюдателя с нелинейными обратными связями, а также обратные связи, основанные на реле. Также, для решения задач в условиях неопределенности предлагается построение одновременных регуляторов для семейств динамических объектов. Планируется реализовать подход к построению цифрового регулятора, что потребует введения соответствующего понятийного аппарата. Хотя проблеме стабилизации переключаемых систем посвящено достаточно много работ, задача о стабилизации переключаемых систем с параметрическими неопределённостями в уравнениях режимов функционирования практически не представлена в научной литературе. 5) В рамках проекта предполагается развивать методы анализа среднесрочных причин кризисов на фондовых рынках. Большой поток исследований фондовых рынков посвящен, в основном, краткосрочным аспектам динамики торгов (технический анализ) и анализу инструментов перераспределения рисков (финансовая математика) в предположении, что среднесрочные аспекты динамики известны всем агентам фондовом рынка. Эти подходы не позволяют анализировать кризисы, имеющие среднесрочную природу, поскольку в этом случае кризисы следует рассматривать как уникальные непрогнозируемые события. В рамках проекта предполагается развивать подход к анализу кризисов на фондовом рынке на основе обобщённого 3 непараметрического метода и неоклассической модели потребительского спроса на примере анализа событий, последовавших за началом кризиса на фондовом рынке Китая после августа 2015 года. Данный подход позволяет выделить компании, ответственные за нарушение регулярности функционирования рынка. В ходе проекта для анализа деятельности таких компаний будут разрабатываться модели динамики цен и объёмов продаж акций на основе концепции игр среднего поля. 6) В условиях неоднородности российской производственной системы и нестабильной финансовой ситуации экономические последствия реализации государственных программ по модернизации технологически отсталых отраслей нуждаются в подробном анализе с учетом особенностей их функционирования и обратных связей в экономической системе. Проведение такого анализа требует разработки новых моделей межотраслевого баланса и методов экономических измерений. В условиях происходящих структурных изменений и недавних мировых экономических кризисов традиционные методы анализа и обработки экономической информации, разработанные несколько десятилетий назад, оказываются плохо применимыми и требуют существенной модификации. Традиционно анализ межотраслевых взаимодействий основывался на модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, предполагающей постоянство коэффициентов прямых затрат. Однако с 90-х годов рост разнообразия и качества товаров и услуг в развитых странах привели к нарушению этой гипотезы. В этих условиях более адекватной представляется гипотеза о постоянстве структуры финансовых затрат в процессе производства товаров и услуг с учётом их отраслевой дифференциации, предложенная в (Acemoglu et al., 2012). Эта гипотеза соответствует допущению, что производитель фиксирует пропорции своих расходов, в рамках которых в зависимости от ценовой конъюнктуры осуществляет материальные затраты, варьируя качество приобретаемых товаров и услуг. В отличии от леонтьевских отраслевых производственных функций с постоянными пропорциями гипотезе о постоянстве структуры затрат соответствуют производственные функции Кобба-Дугласа. В проекте предполагается исследовать вопросы агрегирования группы отраслей в случае нелинейного межотраслевого баланса.

По всем предполагаемым к рассмотрению задачам коллектив обладает существенным научным заделом. Коллектив имеет большой опыт в области моделирования экономических систем, включая применение принципа максимума Понтрягина для анализа соответствующих задач оптимального управления. Также коллектив имеет задел в области численных методов решения задач управления и оптимизации для сосредоточенных и распределенных систем, устойчивых относительно возмущений в входных данных. В этой области исследование опирается на ряд работ, в которых разработаны модификации известных методов решения задач оптимизации, пригодные для применения к задачам даже с неравномерными возмущениями входных данных. Для построения робастных оптимальных решений будет задействован аппарат теории стохастической оптимизации, где построение численных решений требует использования квазиградиента. Данные методы развиваются в том числе в Международном институте прикладного системного анализа. Коллектив имеет обширный задел в области решения задач наблюдения, фильтрации и одновременной стабилизации. Ранее были получены результаты по построению наблюдателей различных типов для многих классов линейных и нелинейных систем. В области одновременной стабилизации исследование опирается на цикл работ, посвящённых проблеме построения стабилизирующих регуляторов для переключаемой линейных систем при различных предположениях относительно этих переключаемых систем и регуляторов. В современной экономической теории, начиная с последних десятилетий XX века, для среднесрочного анализа стали применяться вычислимые модели экономического равновесия. В России близкое направление в течение нескольких десятков лет успешно развивается в рамках системного подхода к описанию развивающейся экономики членами коллектива данного проекта. Накоплен большой методологический опыт, который дает возможность описывать функционирование экономики и ее агентов с помощью моделей, учитывающих обратные связи в экономической системе.