ИСТИНА

Получение порядковых оценок поперечников функциональных классов, приближение функций, изучение аппроксимативно-геометрических свойств множеств в различных пространствах, восстановление производных, изучение спектральных и других свойств дифференциальных операторов, приближение в несимметрично нормированных пространствах, изучение особенностей множеств, каустик, приложения к астрофизике и механике.

The following problems are considered: order estimates of width of function classes, approximation of functions, approximative and geometric properties of sets in various spaces, recovery of derivatives, spectral and other properties of differential operators, approximation in asymmetric normed spaces, study of singularities of sets, caustics, applications to astrophysics and mechanics.

В НИР планируется решить ряд важных задач нелинейного анализа, геометрической теории приближений и получение различных приложений в теории функций, теории поперечников, геометрической оптике и дифференциальных уравнениях. Ожидаемые результаты дадут многочисленные приложения в разнообразных областях математики, а также разовьют новые методы и приемы в самой геометрической теории приближения, в экстремальных задачах, в теории поперечников, в дифференциальных уравнениях. Получить порядковые оценки поперечников дискретных весовых функциональных классов на деревьях в случае, когда скорость роста числа вершин дерева является произведением степеней повторных логарифмов, и такой же вид имеют веса. Планируется получить некоторые новые соотношения между коэффициентами в наилучших формулах восстановления производных и, по возможности, применить их, чтобы сократить сложность явного получения наилучших формул. Найти порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, в случае, когда веса являются функциями расстояния до $h$-множества, при этом функция~$h$ является произведением степеней повторных логарифмов, а параметры, задающие веса, удовлетворяют некоторым предельным соотношениям. Предполагается найти нижнюю грань минимального собственного числа на классе потенциалов для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля. На втором году установить связь минимального собственного значения в зависимости от ограниченности потенциала в задаче сингулярного оператора Штурма—Лиувилля на полуоси. На заключительном этапе предполагается решить двойственную задачу и найти оценки для наилучшего приближения в пространствах с несимметричной нормой, т.е. прямые теоремы теории приближения в пространствах с несимметричной нормой. Получить оценки сверху поперечников весовых классов Соболева в случае, когда область имеет распределенную особенность типа нулевых углов (область будет описана в терминах дерева), а веса будут иметь особенность там же, где и область имеет особенность. Найти порядковые оценки поперечников пересечений двух весовых классов Соболева на отрезке с весами, имеющими особенность типа произведения степени и степеней повторных логарифмов. Предполагается, что полученные в ходе реализации проекта результаты будут полезны для лучшего понимания геометрии многомерных выпуклых тел, внесут определенный вклад в развитие теории экстремальных задач, при этом возможны их приложения в теории функций и к некоторым задачам комбинаторики, а также в механике и астрофизике.

Коллектив обладает большим научным заделом для предлагаемых дальнейших исследований по теме проекта. B работах И.Г. Царькова были исследованы необходимые и достаточные условия на множество, обеспечивающие существование непрерывной varepsilon-выборки на это множество для всех $\varepsilon>0$ в нормированных и несимметричных пространствах. Получены новые метрико-топологические теоремы о неподвижных точках многозначных отображений. Получено обобщение классической теоремы Майкла о селекции. Получены различные теоремы о структуре и топологических свойствах особых множеств гиперповерхностей в пространствах $\mathbb R^n$. Ддля ряда конкретных областей описан класс всех гладких решений уравнения эйконала. А.Р.Алимов исследовал соотношения между геометрическими и аппроксимативными свойствами подмножеств банаховых и несимметрично нормированных пространствах. Установлена выпуклость солнц по касательным направлениям единичной сферы. А.А. Васильева получила порядковые оценки поперечников и энтропийных чисел весовых классов Соболева на ряде областей. Ею также получены порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева на области, имеющей особенность типа пика. А.И. Козко получил новые явные формулы для спектральных функций для различных сингулярных операторов произвольного порядка, вычислил регуляризованные следы для этих операторов и нашел асимптотику спектра оператора Штурма--Лиувилля на полуоси для произвольного быстрорастущего потенциала. К.С. Рютин получил ряд результатов о концентрации нормы как для элементов произвольного подпространства в пространстве интегрируемых функций, так и для классических тригонометрических полиномов. Найден правильный порядок для колмогоровских поперечников произведения октаэдров в смешанной (2,1)-метрике. А.С. Кочуров получил ряд неравенств типа Колмогорова на прямой и на полупрямой, исследовал их связь с классическим экстремальным принципом Лагранжа и получил ряд новых результатов о связи нормы функции и ее производных