|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2021-2025НИР
The general theory of topological spaces, dimension and operations and its application to functional analysis and topological algebra.
- Руководитель НИР: Садовничий Ю.В.
- Участники НИР: Богатый С.А., Грознова А.Ю., Захарян Ю.Н., Иванов А.А., Илиадис С.Д., Карпов А.Н., Комбаров А.П., Лисеев М.Ю., Мычка Е.Ю., Резниченко Е.А., Сипачева О.В., Славина (Логачева) Н.С., Солонков А.А., Филиппов В.В., Фролкина О.Д., Шавгулидзе Н.Е., Якивчик А.Н.
- Подразделение: Кафедра общей топологии и геометрии
- Срок исполнения: 1 января 2021 г. - 31 декабря 2025 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 2.2
- Номер ЦИТИС: 121042200101-2
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Геометрия и топология
- Классификатор OECD: Математика
-
Ключевые слова:
топологические группы преобразований, изометрические вложения, дескриптивная теория множеств, сходимость в топологических пространствах, теория бикомпактных расширений, решетки, функциональные и линейные пространства, геометрическая топология, послойная общая топология, метрические отображения, теория функторов, теория абсолютов, теоритико-множественная топология, аксиоматическая теория общих дифференциальных уравнений, топологические вопросы теории категорий, топологическая динамика, теория размерностей, топологическая алгебра, топологические произведения, гиперпространства, компакты эберлейна, однородные пространства, универсальные объекты, теория меры, вложения в евклидовы пространства
topological questions of category theory, eberlein compacts, bicompactifications theory, axiomatic theory of general differential equations, isometric embedding, functional and linear spaces, hyperspace, imbeddings in euclidean spaces, descriptive set theory, metric maps, geometric topology, the convergence in topological spaces, the measure theory, universal objects, homogeneous spaces, the theory of functors, topological transformation groups, layered general topology, the theory of dimensions, topological products, the theory of absolutes, topological dynamics, theoretico-set topology, topological algebra, lattices -
Описание:
Как внутреннее развитие топологии, так и спрос на ее применение в других разделах математики потребовало построения теории топологических пространств за пределами метризуемых пространств и многообразий. Возникает необходимость в построении сложных примеров, создании новых методов исследований, использующих, в том числе, и дополнительные алгебраические структуры на топологических пространствах. Предполагается исследовать как классические тополого-алгебраические структуры, такие как функциональные пространства, пространства вероятностных мер, топологические группы, топологические векторные пространства и другие топологические алгебры, так и относительно мало изученные, но тем не менее весьма интересные и полезные конструкции, такие как компактификации тихоновских пространств и их наросты. В свою очередь, подобные конструкции тесно связаны с теоретико-множественными аспектами топологии (в первую очередь, ультрафильтрами) и с вопросами однородности топологических пространств, факторпространств и ретрактов. Наделение объекта с алгебраической (в частности, групповой) структурой топологией, согласованной с этой структурой, становится мощным исследовательским инструментом в изучении как алгебраических, так и топологических свойств данного объекта. Например, в современной теории динамических систем широко используются методы топологической теории групп преобразований. Будут также изучены общие алгебраические и топологические свойства функторов на топологических пространствах. Особое внимание уделяется таким функторам как: степень пространства; экспонента; функтор вероятностных мер; свободная (абелева) группа, порожденная топологическим пространством; функтор Дженнингса, ставящий в соответствие всякому топологическому кольцу топологическую группу; K-функтор. Также будет изучен вопрос существования специальных вложений конечномерных компактов в евклидово пространство.
-
Abstract:
The intrinsic development of topology and its applications in other domains of mathematics have required the creation of the theory of topological spaces beoynd the scope of metrizable spaces and manifolds. There arises the need for constructing involved examples, and developing new methods of study, using, in particular, additional algebraic structures on topological spaces. It is planned to investigate both classical topologo-algebraic structures, such as function spaces, probability measure spaces, topological groups, topological vector spaces, and other topological algebras, on the one hand, and relatively little studied but still very interesting and useful constructions, such as compact extensions of Tychnoff spaces and their remainder, on the other hand. In turn, the latter are closely related to the set-theoretic aspects of topology (first of all, ultrafilters) and the problems of homogeneity of topological spaces, quotient spaces, and retracts. Endowing an object carrying an algebraic (in particular, group) structure with a topology consistent with this structure becomes a powerful research tool in the study of both algebraic and topological properties of the given object. For example, in the modern theory of dynamical systems, methods of the topological theory of transformation groups are extensively applied. It is also planned to study general algebraic and topological properties of functors on topological spaces. Special attentian will be given to the following functors: power of a space; exponential; the functor of probability measures; free (Abelian, Boolean) topological group generated by a space; the Jennings functor, which assigns a topological group to each topological ring; the K-function. The existence of special embeddings of compact spaces in Euclidean spaces will also be studied.
-
Планируемые результаты:
1. Установление связей между топологическими свойствами пространств и их компактификаций, между пространствами и наростами их компактификаций (свойства двойственности). 2. Исследование однородности компактных о общих топологических пространств, включая алгебраическую однородность однородных компактов, описание непрерывных образов однородного компакта. Исследование сохранения однородности другими естественными операциями на топологических пространствах, такими как факторизация (в частности, алгебраическая) и ретракция. Описание компактных подпространств однородных пространств и их произведений. 3. Исследование существования согласованных с операциями топологий с заданными свойствами на группах и других алгебраических структурах, в том числе, исследование свойств пространств функций. 4. Изучение алгебро-топологической структуры полугруппы ультрафильтров на множестве и ее связей с топологиями на этом множестве и на ассоциированных с ним алгебраических структурах. 5. Исследование существования согласованных с операциями общих и специальных топологий на группах, в частности, топологий с экстремальными свойствами (максимальных, экстремально несвязных, неразложимых и пр.). Выяснение существования специальных топологий на группах, относительно которых групповые операции непрерывны в том или ином смысле. 6. Новые способы конструирования банаховых пространств непрерывных функций и объектов топологической алгебры, которые имеют заданные свойства. Приложения топологических методов к геометрии банаховых пространств и решению вариационных задач. 7. Исследование общих свойств алгебро-топологических функторов на топологических пространствах. Изучение степеней элементов в группе Дженнингса, с особым упором на случай действительных и комплексных коэффициентов, что соответствует характеру локальной динамики в неподвижной точке гладкого и голоморфного отображения. 8. Установление связей между топологическими свойствами G-простанств, их эквивариантными компактификациями и наростами их эквивариантных компактификаций. 9. Выяснение существования наследственно сепарабельных и наследственно линделефовых пространств в функциональных пространствах.
-
Научный задел:
Исследованы наросты метризуемых пространств; это важно потому, что класс метризуемых пространств связан со многими другими важными классами топологических пространств. Решены задачи о свойствах пространств с действием подгрупп произведения полных по Чеху групп, об условиях алгебраической однородности G-пространств; о редукции действий и о роли структуры произведения G x X в продолжении действий. Построена теория d-открытых действий. Доказано, что свободная топологическая группа не может быть экстремально несвязной и получены другие результаты об экстремальных топологиях на группах. Исследованы топологии Маркова и Зарисского на группах и моноидах, условия их совпадения, а также условия, при которых эти топологии являются отделимыми групповыми топологиями. Доказано, что совместимо с ZFC считать, что в пространствах функций над компактами понятия наследственной сепарабельности и линделефовости совпадают. Проведены многочисленные исследования пространств вероятностных мер. Построена топологическая теория множеств крайних точек компактов в локально выпуклых пространствах и банаховых пространствах. Получены многочисленные результаты о структуре функциональных пространств в топологии поточечной сходимости. Исследованы общие свойства свободных топологических групп и векторные пространств.
-
Основные результаты:
В некоторой модели теории множеств доказано, что регулярные, F_σ-паранормальные вне диагонали, счетно-компактные пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности и компактны. Вводятся новые классы топологических пространств, обобщающие экстремальную несвязность. Исследуются свойства этих пространств, в частности, показано, что они обладают свойством наследственности. Доказано также, что эти классы не сохраняются стоун-чеховскими расширениями и открытыми отображениями, в отличие от класса экстремально несвязных пространств. На данные классы пространств удаётся распространить известные результаты, связанные с неоднородностью. Изучены основные свойства дискретных ультрафильтров. Также введены три класса промежуточных пространств $R_1$, $R_2$ и $R_3$, расположенные строго между между $\beta\omega$- и $F$-пространствами. Доказано, что произведение бесконечных компактных $R_2$-пространств неоднородно. Более того, в предположении $\mathfrak d =\mathfrak u=\mathfrak c$ произведение $\beta\omega$-пространств неоднородно. Доказано, что для любого насыщенного класса S-пространств в категории (S, cl) существуют универсальные объекты. Доказано, что слабо нормальный вне диагонали компакт удовлетворяет первой аксиоме счетности. Доказано, что для любого сепарабельного метризуемого пространства Y и для любых счетных ординалов alpha и beta в непустом классе всех сепарабельных метризуемых пространств Х, для которых ind(X)=alpha и ind(YxX)=beta существует универсальный элемент. Доказано, что для любого вполне регулярного пространства Y и для любых ординалов alpha и beta в непустом классе всех вполне регулярных пространств Х, для которых ind(X)=alpha и ind(YxX)=beta существует универсальный элемент. Доказано, что совместимо с ZFC, что слабо нормальное вне диагонали счетно компактное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности и является компактом. Доказано, что утверждение, что слабо нормальное вне диагонали счетно компактное пространство является компактом совместимо с ZFC и не зависит от ZFC. Доказано. что, если X,Y есть G-однородные пространства, X польское пространство, Y пространство со свойством Бэра и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X полно по Чеху пространство, Y пространство со свойством Бэра, X \omega-ограниченно и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. ДОказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X K-аналитическое пространство, Y пространство со свойством Бэра и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Описаны все пространства на нулевом расстоянии Громова–Хаусдорфа от ежей положительных рациональных чисел Q_+ и всех положительных чисел R_+. Изучается геометрия собственного класса всех метрических пространств, наделенного расстоянием Громова-Хаусдорфа, а также разных его фактор-пространств. Развивается теория, позволяющая наделять некоторые собственные классы (фильтрованные множествами) аналогом топологии. Показывается, что расстояние Громова-Хаусдорфа является полной внутренней обобщенной псевдометрикой. Особое внимание уделяется эквивалентности, отождествляющей метрические пространства на конечном расстоянии друг от друга. Классы этой эквивалентности мы называем облаками. Анализируется возможность доказательства утверждения М.Громова о стягиваемости облаков. Обсуждается отображение подобия, которое каждому метрическому пространству ставит в соответствии то же множество, но с расстояниями, умноженными на данное положительное число. Это отображение является естественным претендентом на участие в доказательстве стягиваемости (например, с его помощью доказывается стягиваемость облака ограниченных метрических пространств). Показывается, что в общем случае отображение подобия не может дать желаемого результата, так как при изменении расстояний в одно и то же число раз полученное метрическое пространство может оказаться на бесконечном расстоянии от исходного, что приводит к разрывности отображения подобия. Так как подобие задает действие мультипликативрной группы положительных вещественных чисел на классах Громова-Хаусдорфа, определены станционарные подгруппы этого действия. Приведены примеры вычисления этих подгрупп, а также доказано, что каждое облако имеет "центр" - метрическое пространство (рассматриваемое с точностью до соответствующей эквивалентности), стационарная подгруппа которого совпадает со стационарной подгруппой облака. Доказано, что расстояние Громова-Хаусдорфа является обобщенной псевдометрикой, зануляющейся на парах изометрических пространств. Рассматриваются гомотопии, связывающие два отображения. Доказывается, что в определенных классах гомотопий (связанных с насыщенными классами пространств) существуют правильно универсальные элементы. Доказано, что свободное топологическое векторное пространство B(X) над полем F2={0,1}, порожденное кружевным пространством X, является кружевным и, следовательно, для всякого замкнутого подпространства F⊂B(X) (в частности, для F=X) и любого локально выпуклого пространства E существует линейный оператор C(F,E)→C(B(X),E) продолжения непрерывных отображений. Изданы учебники для студентов Филиала в Баку. Определен широкий класс пространств — ∆-бэровские пространства. Паратопологические группы из этого класса являются топологическими. Класс ∆-бэровских пространств включает локально псевдокомпактные пространства, бэровские p-пространства,бэровские Σ-пространства и произведения полных по Чеху пространств. Доказано, что если гомеоморфизм f конечномерного нормального пространства или конечномерного F-пространства X не имеет неподвижных точек и на X существует непрерывная метрика, относительно которой f остается гомеоморфизмом, то продолжение f на стоун-чеховскую компактификацию пространства X тоже не имеет неподвижных точек. Отсюда вытекает, в частности, что всякая конечномерная F-группа счетного псевдохарактера содержит открытую булеву подгруппу.
- Добавил в систему: Сипачева Ольга Викторовна
Источник финансирования НИР
| госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию) |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2021 |
| Результаты этапа: Доказано, что если в гиперпространстве Фелла любое F_σ-множество паранормально, то исходное пространство локально компактно и линделефово и если гиперпространство Фелла наследственно паранормально, то исходное пространство локально компактно и удовлетворяет второй аксиоме счетности. Доказано, что во многих классах топологических пространств (в частности для класса всех топологических пространств веса меньшего или равного некоторого фиксированного кардинала), непрерывно содержащих топологические группы, существуют правильно универсальные элементы. Строятся правильные универсальные элементы для различных классов пучков Абелевых групп. Описаны новые легко конструируемые серии канторовых множеств в R^3, у которых все проекции связны и одномерны. Это самоподобные канторовы множества, восходящие к работам Л.Антуана, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. (Ранее была обоснована необходимость следить за формой, размерами и расположением допредельных полноториев, а именно, было показано, что произвольное канторово множество в R^N произвольно малой изотопией R^N можно перевести на такое канторово множество, проекция которого на любую m-плоскость m-мерна; теперь же свойство самоподобия заменит этот контроль). Изучены собственное классы Громова-Хаусдорфа, состоящие из всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии. В этом классе вводится обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа и исследуется геометрия результирующего пространства. Первым основным результатом является доказательство полноты пространства, т.е. того, что все фундаментальные последовательности сходятся. Затем пространство разбивается на максимальные собственные подклассы, состоящие из пространств, находящихся на конечном расстоянии друг от друга. Такие подклассы названы облаками. Мультипликативная группа подобия оперирует облаками, умножая все расстояния каждого метрического пространства на некоторое положительное число. Приводены примеры отображений подобия, переводящих одни облака в другие. В некоторой модели теории множеств доказывается, что регулярные Fσ-паранормальные вне диагонали счетно компактные пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности и являются компактами. Совместимо с ZFC и не зависит от ZFC, что регулярное Fσ-паранормальное вне диагонали счетно компактное пространство является компактом. С помощью метода построения Содержащих Пространств (развитого в книге S.D. Iliadis, Universal Spaces and Mappings, North-Holland Мathematics Studies 198, Elsevier, 2005) построены универсальные объекты в различных категориях. Одна из этих категорий, это известная категория пучков Абелевых групп, которая играет большую роль в изучение когомологических теорий общих топологических пространств. Другая, это категория пространств, непрерывно содержащих топологические группы, и их правильных непрерывных отображении. Вычислены некоторые коммутаторы в многомерной группе Дженнингса. Доказано, что для любого отображения единичного отрезка на единичный квадрат найдется пара точек отрезка, для которой квадрат евклидова расстояния между их образами превосходит расстояние между ними на отрезке не менее, чем в 3.625 раз. Дополнительное условие на принадлежность образов начала и конца отрезка противоположным сторонам квадрата повышает оценку выше четырех. Доказана вторая теорема об изоморфизме решеточно упорядоченных колец для случая l-подкольца и l-идеала. Исследуется размерность Минковского некоторых подмножеств p-адических пространств и строится серия фрактальных подмножеств с различными значениями размерности Минковского. Завершено доказательство теоремы Бинга 1952 г. о склейке двух рогатых тел Александера. Изобретенная Бингом техника, позже названная критерием сжимаемости, сыграла важную роль в решении центральных топологических задач, среди которых — 4-мерная топологическая гипотеза Пуанкаре (М. Фридман, 1982). Изучен вопрос существования канторова множества в R^n, проекции которого на всякую m-плоскость имеют размерность k>0. Эта задача поставлена Дж. Коббом в 1994 г. и решена лишь для некоторых троек (n,m,k). Сделан обзор известных примеров и описаны новые конструкции. Введено понятие пары многозначных отображений метрических пространств типа Замфиреску и доказана теорема о существовании точек совпадения для таких пар отображений. Эта теорема является обобщением теоремы К. Няммани и А. Кевхао о неподвижной точке многозначного отображения Замфиреску. Доказана теорема о сохранении существования точек совпадения у однопараметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску в заданном открытом множестве метрического пространства. Исследована возможность продолжения непрерывных функций на произведениях псевдокомпактных пространств. В частности, доказано, что для любого натурального числа n любая непрерывная функция на произведении псевдокомпактных пространств продолжается до раздельно непрерывной функции на произведении из стоун-чеховских (максимальных) компактификаций. Получены дальнейшие продвижения в решении проблемы, которая активно исследуется на протяжении последних 85 лет: выяснить условия на топологию на группе, при которых из непрерывности умножения вытекает непрерывность операции взятия обратного элемента (т.е. при которых паратопологическая группа является топологической). Продолжено построение теории свободных булевых топологических групп. | ||
| 2 | 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2022) |
| Результаты этапа: В некоторой модели теории множеств доказано, что регулярные, F_σ-паранормальные вне диагонали, счетно-компактные пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности и компактны. Вводятся новые классы топологических пространств, обобщающие экстремальную несвязность. Исследуются свойства этих пространств, в частности, показано, что они обладают свойством наследственности. Доказано также, что эти классы не сохраняются стоун-чеховскими расширениями и открытыми отображениями, в отличие от класса экстремально несвязных пространств. На данные классы пространств удаётся распространить известные результаты, связанные с неоднородностью. Изучены основные свойства дискретных ультрафильтров. Также введены три класса промежуточных пространств $R_1$, $R_2$ и $R_3$, расположенные строго между между $\beta\omega$- и $F$-пространствами. Доказано, что произведение бесконечных компактных $R_2$-пространств неоднородно. Более того, в предположении $\mathfrak d =\mathfrak u=\mathfrak c$ произведение $\beta\omega$-пространств неоднородно. Доказано, что для любого насыщенного класса S-пространств в категории (S, cl) существуют универсальные объекты. Доказано, что слабо нормальный вне диагонали компакт удовлетворяет первой аксиоме счетности. Доказано, что для любого сепарабельного метризуемого пространства Y и для любых счетных ординалов alpha и beta в непустом классе всех сепарабельных метризуемых пространств Х, для которых ind(X)=alpha и ind(YxX)=beta существует универсальный элемент. Доказано, что для любого вполне регулярного пространства Y и для любых ординалов alpha и beta в непустом классе всех вполне регулярных пространств Х, для которых ind(X)=alpha и ind(YxX)=beta существует универсальный элемент. Доказано, что совместимо с ZFC, что слабо нормальное вне диагонали счетно компактное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности и является компактом. Доказано, что утверждение, что слабо нормальное вне диагонали счетно компактное пространство является компактом совместимо с ZFC и не зависит от ZFC. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X польское пространство, Y пространство со свойством Бэра и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X полно по Чеху пространство, Y пространство со свойством Бэра, X \omega-ограниченно и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X K-аналитическое пространство, Y пространство со свойством Бэра и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Описаны все пространства на нулевом расстоянии Громова–Хаусдорфа от ежей положительных рациональных чисел Q_+ и всех положительных чисел R_+. Изучается геометрия собственного класса всех метрических пространств, наделенного расстоянием Громова-Хаусдорфа, а также разных его фактор-пространств. Развивается теория, позволяющая наделять некоторые собственные классы (фильтрованные множествами) аналогом топологии. Показывается, что расстояние Громова-Хаусдорфа является полной внутренней обобщенной псевдометрикой. Особое внимание уделяется эквивалентности, отождествляющей метрические пространства на конечном расстоянии друг от друга. Классы этой эквивалентности мы называем облаками. Анализируется возможность доказательства утверждения М.Громова о стягиваемости облаков. Обсуждается отображение подобия, которое каждому метрическому пространству ставит в соответствии то же множество, но с расстояниями, умноженными на данное положительное число. Это отображение является естественным претендентом на участие в доказательстве стягиваемости (например, с его помощью доказывается стягиваемость облака ограниченных метрических пространств). Показывается, что в общем случае отображение подобия не может дать желаемого результата, так как при изменении расстояний в одно и то же число раз полученное метрическое пространство может оказаться на бесконечном расстоянии от исходного, что приводит к разрывности отображения подобия. Так как подобие задает действие мультипликативрной группы положительных вещественных чисел на классах Громова-Хаусдорфа, определены станционарные подгруппы этого действия. Приведены примеры вычисления этих подгрупп, а также доказано, что каждое облако имеет "центр" - метрическое пространство (рассматриваемое с точностью до соответствующей эквивалентности), стационарная подгруппа которого совпадает со стационарной подгруппой облака. Доказано, что расстояние Громова-Хаусдорфа является обобщенной псевдометрикой, зануляющейся на парах изометрических пространств. Рассматриваются гомотопии, связывающие два отображения. Доказывается, что в определенных классах гомотопий (связанных с насыщенными классами пространств) существуют правильно универсальные элементы. Доказано, что свободное топологическое векторное пространство B(X) над полем F2={0,1}, порожденное кружевным пространством X, является кружевным и, следовательно, для всякого замкнутого подпространства F⊂B(X) (в частности, для F=X) и любого локально выпуклого пространства E существует линейный оператор C(F,E)→C(B(X),E) продолжения непрерывных отображений. Изданы учебники для студентов Филиала в Баку. Определен широкий класс пространств — ∆-бэровские пространства. Паратопологические группы из этого класса являются топологическими. Класс ∆-бэровских пространств включает локально псевдокомпактные пространства, бэровские p-пространства,бэровские Σ-пространства и произведения полных по Чеху пространств. Доказано, что если гомеоморфизм f конечномерного нормального пространства или конечномерного F-пространства X не имеет неподвижных точек и на X существует непрерывная метрика, относительно которой f остается гомеоморфизмом, то продолжение f на стоун-чеховскую компактификацию пространства X тоже не имеет неподвижных точек. Отсюда вытекает, в частности, что всякая конечномерная F-группа счетного псевдохарактера содержит открытую булеву подгруппу. | ||
| 3 | 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2023) |
| Результаты этапа: 1) Построен пример абелевой топологической группы G и её замкнутой подгруппы H, для которых dim_0 H > dim_0 G. 2) Рассмотрен следующий вопрос: верно ли, что для любого метрического компакта X емкостной размерности dim_B X=a и любых двух чисел b,c таких, что 0 ≤ b ≤ c ≤ a в X существует замкнутое подмножество, нижняя емкостная размерность которого равна b, а верхняя емкостная размерность равна c? Получен положительный ответ на этот вопрос при b=0. В общем случае этот результат является окончательным. Построен пример метрического компакта, емкостная размерность которого равна 1, и при этом любое непустое собственное замкнутое подмножество этого компакта имеет нижнюю емкостную размерность, равную нулю. 3) Для общей метрики на геометрической прогрессии исследован стабилизатор облака всех метрических пространств, находящихся на конечном расстоянии от вышеуказанного пространства. 4) Введены новые классы топологических пространств R_1, R_2, R_3, обобщающие класс F-пространств. Доказано, что все однородные компактные подпространства пространств из этих классов и их некоторых произведений конечны. Получены результаты о сравнимости в смысле Рудин–Кейслера ультрафильтров, по которым в R_2- и R_3-пространствах сходятся разные последовательности к одной и той же точке. 5)Ультрафильтр p на ω называется дискретным, если, каковы бы ни была функция f: ω → X в любое тихоновское топологическое пространство, найдется элемент A ∈ p такой, что множество f(A) дискретно. Изучены основные свойства дискретных ультрафильтров. Введены промежуточные классы R1 ⊂ R2 ⊂ R3 пространств между классом F-пространств и классом βω-пространств ван Дауэна. Доказано, что произведение бесконечных компактных R2-пространств не бывает однородным; более того, в предположении d = c произведение βω-пространств не бывает однородным. 6) Доказано, что для любого пространства Y веса τ, любых ординаров α и β и любого насыщенного класса S пространств веса τ в непустой классе всех элементов X∈S, для которых ind(X) = α и ind(Y×X)=β существует универсальный элемент. Доказано, что для любого регулярного пространства Y веса ≤τ и любых ординаров α и β в непустом классе всех регулярных пространств Х веса ≤τ, для которых ind(X) = α и ind(Y×X)=β существует универсальный элемент. Доказано, что для любого Т0-пространства Y веса ≤τ и любых ординаров α и β в непустом классе всех Т0-пространств веса ≤τ, для которых ind(X) = α и ind(Y×X)=β существует универсальный элемент. Найден ряд примеров насыщенных классов. 7) Рассмотрены топологические группы, пространства которых являются базисно несвязными, F- или F'-пространствами, но не P-пространствами. Доказано, в частности, что существование линделёфовой базисно несвязно топологической группы, не являющейся P-пространством, равносильно существованию булевой базисно несвязной линделёфовой группы счётного псевдохарактера, что свободные и свободные абелевы топологические группы нульмерных пространств, не являющихся P-пространствами, не бывают F'-пространствами, и что существование свободной булевой F'-группы, не являющейся P-пространством, равносильно существованию селективных ультрафильтров на ω. 8) Доказано, что существование слабо нормального вне диагонали, счётно компактного пространства является счётным и компактным, согласуется с аксиомой выбора. 9) Доказано, что, если сумма ⊕Xα P-вложена в свободную булеву топологическую группу X, то σ-произведение X^α вложено в B(X). В частности, если сумма X⊕...⊕X P-вложена в X, то произведение X×...×X вложено в B(X). 10) Доказано, что свободная булева топологическая группа B((0,1)) вкладывается в B([0,1]) в качестве замкнутой подгруппы. 11) Доказано, что пространство X_* × X_*. не вкладывается в B(X_*), где X_* = ω∪{p}, U — рамсеевский ультрафильтр на ω, все точки x∈ω. 12) Доказано, что, если Х есть псевдокомпактная топологическая группа, то Х содержит счетное не замкнутое подмножество. 13) Доказано, что певдокомпактная орбита Коровина не гомеоморфна топологической группе. 14) Доказано, что, если Х есть псевдокомпактное мальцевское пространство и каждое счетное подмножество Х дискретно и замкнуто, то для каждого счетного S⊂X пространство Š^{βX} есть метризуемый компакт и S не C*-вложено в X. 15) Доказано, что псевдокомпактная орбита Коровина не гомеоморфна мальцевскому пространству. 16) Доказано, что счетно компактное пространство является коровинским. 17) Доказано, что псевдокомпактная орбита Коровина не является коровинским пространством. 18) Доказано, что не дискретное шахматовское пространство не является слабо pc-Гротендика. 19) Доказано, что псевдокомпактная орбита Коровина является шахматовским пространством. 20)Для компактной хаусдорфской правой топологической (CHART) группы G доказано, что ω(G)=πχ(G). Это равенство хорошо известно для компактных топологических групп. Отсюда вытекает критерий метризуемости CHART-групп: если G имеет счетный π-характер, то G метризуема. При предположении континуум гипотезы (CH) секвенциально компактная CHART-группа является метризуемой. Теорема Намиоки о том, что метризуемые CHART-группы являются топологическими группами, распространяется на CHART-группы с малым весом. 21) Доказано, что, если Х — паракомпактное пространство, F — нормальный функтор степени ≥ 3 в категории P паракомпактных p-пространств и пространство F(X) наследственно нормально, то пространство Х метризуемо. 22) Продолжена работа с f–непрерывными функциями (финально непрерывными) на отображениях. С помощью таких функций получен вариант теоремы Брауэра–Титце–Урысона для отображений и другие функциональные характеризации свойств нормальности отображений. 23) Полностью описываются коммутаторы основных подгрупп многомерной группы Дженнингса. 24) Изучены топологические игры, возникающие при исследовании непрерывности операций в группах с топологией, таких как псевдотопологические и полутопологические группы. Эти игры являются модификациями игры Банаха-Мазура. Для рассматриваемых игр найдены эквивалентные игры, что облегчает изучение взаимосвязи между полученными классами пространств и определение, какие пространства принадлежат этим классам. Для этой цели введена модификация игры Банаха-Мазура с четырьмя игроками. Полученные результаты находят применение при исследовании непрерывности операций в группах с топологией. 25) Рассмотрены классы пространств, в которых существуют универсальные отмеченные пространства. 26) Рассмотрены основные проблемы, связанные с ℝ-факторизуемыми группами. В частности, доказано, что ℝ-факторизуемая группа веса ≤ 2ω не может содержать локально конечное семейство открытых множеств мощности 2ω. Отсюда вытекает, что в предположении CH всякая ℝ-факторизуемая группа веса ≤ 2ω имеет счётное дискретное число Суслина. 27) Доказано, что, если произведение топологических групп GxH факторизуемо, то 1) либо у H либо у G счетное дискретное число суслина; 2) dim GхH ≤ dim G + dim H. В частности, если G^2 ℝ-факторизуемо, то у G счетное дискретное число суслина. Рассматриваются также другие факты о ℝ-факторизуемых группах. 28) Доказано существование свободного квазимальцевского пространства, порожденного произвольным тихоновским пространством, и показано, что всякое квазимальцевское пространство является факторпространством свободного квазимальцевского пространства. Кроме того, показано, что топология свободного квазимальцевского пространства имеет простое и естественное описание в терминах порождающего пространства. Наконец, доказано, что всякое тихоновское квазимальцевское пространство является ретрактом квазитопологической группы. 29) Рассматрены условия на пространство X, которые влекут предкомпактность псевдокомпактных подпространств пространства C_p(X) непрерывных функций в топологии поточечной сходимости. Доказано, что, если X псевдокомпактное пространство, содержащие плотное линделефово \Sigma-подпространство, то любое псевдокомпактное подпространство C_p(X) является компактом. Построено K_{\sigma\delta} (то есть пересечение счетного числа \sigma-компактных пространств, в частности линделефово \Sigma) пространство K, так что C_p(X) содержит замкнутое псевдокомпактное локально компактное не компактное подпространство. | ||
| 4 | 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2024 |
| Результаты этапа: Доказано существование свободной квазитопологической алгебры, порождённой любым тихоновским пространством X, в любом полном многоообразии квазитопологических алгебр, и описано её построение. Также токазано, что всякая такая алгебра является индуктивным пределом своих подпространств, являющихся непрерывными образами топологических сумм конечных кросс-степеней пространства X. Показано, что все свободные квазитопологические алгебры над тихоновскими пространствами всегда хаусдорфовы, но редко бывают регулярными, однако всякое квазимальцевское тихоновское пространство является ретрактом тихоновской квазитопологической группы. Изучены свойства топологических алгебр с производной операцией Мальцева, в частности, мальцевские пространства. В частности, вопросы отделимости, аналоги теоремы Биркгофа о тождествах, определяющих многообразия алгебр, топологические свойства топологических алгебр с производной операцией Мальцева, свободные мальцевские пространства и топологические груды. Рассмотрены расширения универсальных алгебр, на которые можно продолжить операции алгебры. Изучены R-факторизуемые алгебры, которые обладают свойством: любая непрерывная функция на алгебре факторизуется через гомоморфизм в сепарабельную метризуемую алгебру. Изучены проблемы и свойства универсальных отмеченных пространствах и отображений. Изучено расстояние Громова-Хаусдорфа между пространствами $X_{\lambda , p, \alpha }$. Для λ>0, p>1, α>0 рассмотрено множество (пространство) $X_{\lambda , p, \alpha }=\{x=\lambda p^{n^{\alpha }}\in \mathbb R\colon n\in \mathbb N\}\cup \{0\}$. Коэффициент λ соответствует «подобию». Показано, что расстояние между такими различными пространствами всегда бесконечно. Исключение составляет случай геометрической прогрессии α=1, λ=p^k, k∈Z. Рассмотрен случай общей метрики на пространстве $X_{\lambda , p, \alpha }$, в которой из прямой берутся только расстояния но нулевой точки. Изучены R-факторизуемые алгебры, которые обладают свойством: любая непрерывная функция на алгебре факторизуется через гомоморфизм в сепарабельную метризуемую алгебру. Рассмотрена доказанность и справедливость замечания М. Громова о стягиваемости модуля всех метрических пространств, находящихся на конечном расстоянии от заданного метрического пространства. Изучены группы с максимальными групповыми топологиями, а также связи свойств топологических групп со свойствами фильтров окрестностей единицы в этих группах. Получены новые результаты о максимальных и неразложимых топологических группах (в классическом смысле). | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".