Эконометрические и вероятностные методы для анализа финансовых рынков сложной структурыНИР

Econometric and probabilistic methods for the analysis of financial markets with complex structure

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 июня 2020 г.-31 декабря 2020 г. Этап 1
Результаты этапа:
2 1 января 2021 г.-30 декабря 2021 г. Этап 2
Результаты этапа:
3 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Этап 3
Результаты этапа: Кабанов Ю.М. Рассмотрены и решены следующие задачи в ранее неизученных ситуациях: 1. Найдена асимптотика вероятности разорения в модели Лундберга с двусторонними экспоненциальными распределениями скачков процесса P при инвестициях в рисковый актив с ценой, заданной геометрическим броуновским движением co сносом a и волатильностью sigma , т.е. когда R=at+sigma w_t. Показано, что $u^beta F(u)\to C>0 при u , в случае, когда параметр “beta”:=2a/sigma^2-1>0. В противном случае, разорение происходит с вероятностью единица. Таким образом, формально результат тот же, что и в случае моделей с односторонними скачками. Его доказательство состоит из ряда этапов: устанавливается, что функция F достаточно гладкая, с помощью формулы Ито выводится для неё интегро-дифференциальное уравнение второго, имеющее два интегральных члена - в отличие от задач с односторонними скачками. Последнее обстоятельство требует не однократного, а двукратного дифференцирования ИДУ, в силы чего полученное уравнение имеет более высокий порядок и его асимптотический анализ составляет главную трудность. Тем, не менее, её удалось преодолеть и, наконец, выделить из фундаментального решения то, которое и определяет асимптотику вероятности разорения. 2. Найдена асимптотика вероятности разорения в модели Спарре Андерсена с инвестициями. Как и в классическом модели Спарре Андерсена (1957), процесс P - обобщённый процесс восстановления со сносом, т.е. процесс, интервалы между скачками которого - незавиcимые одинаково распределённые случайные величины. Процесс R - произвольный процесс Леви со скачками, превосходящими -1 (это условие обеспечивает положительность цены рискового актива). Изучена версия с отрицательными скачками P (страхованиe не жизни ). Основной результат состоит в том, что при весьма слабых предположаниях на распределение интервалов в процессе восстановления частичные пределы функции u^beta F(u), когда u стремится к бесконечности, лежат в интервале [C_1,C_2], где 0<C_1 <C_2, а параметр “beta” является положительным корнем куммулянтной функции H цены рискового актива. Этот результат получен применением неявной теории восстановления. 3. До настоящего времени теория не располагала результатами о точной асимптотике вероятности разорения в ситуациях, в которых R не был бы процессом Леви. В тоже время, в финансовой математике такого рода модели цен рассматриваются и применяются на практике. Таковыми являются модели цен со случайной волатильностью. В только что завершённой работе решена задача об асимптотическом поведении вероятности разорения решена для модели Лундберга--Крамера с инвестициями, когда снос и волатильность процесса цены имеют вид а_{v_t} и sigma_{v_t}, где v=(v_t) -- так называемый телеграфный сигнал, т.е. марковский процесс с двумя состояниями 0 и 1 (такие процессы используются для моделирования экономических циклов). В этом случае вероятность разорения убывает также как степенная функция с показателем, являющимся решением алгебраического уравнения и расположенным в интервале между значениями параметрoв бета_0 и бета_1, определяемыми как и выше для моделей с коэффициентами сноса а_0 и а_1 и коэффициентами волатильности сигма_0 и сигма_1. Естественное обобщение полученного результата на случай модели, переключение параметров которой осуществляется марковским процессом с конечным числом состояний, остаётся открытой проблемой. 4. Для функционала от обобщённого процесса Орнштейна-Уленбека, частным случаем которого является вероятность разорения, полученo интегро-дифференциальные уравнениe в частных производных, понимаемoе в вязкостнoм смысле. Доказана теорема единственности решения для краевой задачи. 5. Получено явное решение уравнения Беллмана в задаче оптимизации высокочастотного трейдинга для цены, задаваемок геометрическим броуновским движением. 6. Получено новое доказательство критерия существовавия асимптотического арбитража первого рода. 7. Изучена проблема нахождения клирингового вектора и эквитиз в моделях Роджерца-Вераарт и Судзуки-Эльсингера. Д. Л. Муравей 1) Оптимальная торговля портфелем, динамика которого описывается многомерным процессом Орнштейна-Уленбека. Основные результаты, полученные в ходе научной работы: 1. Найдены явные формулы для оптимального управления, в терминах решения матричного уравнения Рикатти. 2. Исследованы случаи, при которых матричное уравнение допускает явное решение. Для всех таких случаев были даны экономические интерпретации. 3. Доказано, что функция цены имеет минимум, если активы некореллированы. Дано экономическое обоснование этого эффекта. 4. Предложен подход анализа чувствительности параметров на основе дифференциальных уравнений. Основное преимущество - возможность эффективного анализа для портфелей больших размерностей. Альтернативные методы, например Монте-Карло, будут намного медленнее чем предложенный в данной работе алгоритм. Результаты изложены в препринте и поданы на рассмотрение для публикации в журнал Quantitative Finance. В данный момент статья находится на рецензии. 2) Квази-аналитические методы расчета цен барьерных опционов в модели CEV и CIR с переменными по времени коэффициентами Данная работа продолжает цикл работ aвторов по применению обобщенного интегрального преобразования в задачах финансовой математики. Суть подхода состоит в конструировании интегрального преобразования специального вида, которое позволяет свести задачу к одномерному дифференциальному уравнению, которое нетрудно решить стандартными методами. Однако, решение зависит от некоторой неизвестной функции для нахождения которой необходимо решить интегральное уравнение Вольтерры второго рода. Алгоритмы, реализованные на основе научных результатов данной работы, имеют скорость в 2-3 раза выше чем решения на основе конечно-разностного моделирования. A. Itkin and D. Muravey «Semi-closed form prices of barrier options in the Hull-White model»— accepted in RISK Magazine P. Carr, A. Itkin and D. Muravey «Semi-closed form prices of barrier options in the time-dependent CEV and CIR models» published in Journal of Derivatives Fall 2020. A. Lipton, A. Itkin, D. Muravey «From the Black-Karasinski to the Verhulst model to accommodate the unconventional fed's policy» submitted to RISK Magazine. A. Itkin, D. Muravey «Semi-analytic pricing of double barrier options with time-dependent barriers and rebates at hit — available at arxiv.org, will be submitted to Mathematical Finance or SIFIN) E. Boguslavskaya, M. Boguslavsky, D. Muravey Trading multiple mean reversion — will be available at arxiv.org Вартанов С.А. Опубликованы две первых части обзора по моделям стохастических процессов в современной теории рынков с рекламой и медиарынков (от моделей, основанных на процессе случайного блуждания и модели Койка с распределенным лагом до блаттберговских моделей, соответствующих процессу Орнштейна-Уленбека. Разработана концепция построения детерминированных моделей трехстороннего рынка моно- и олигополистической структуры, для двух конкретных случаев (двусторонняя монополия и олигополия с горизонтальной дифференциацией товара и контента) проведен анализ множества равновесий Нэша, возникающих в стационарных состояний моделей рекламной динамики, соответствующих равновесиям этой модели, изложенный в препринте. Как показывают полученные результаты, трехсторонние модели даже в наиболее простых предположениях позволяют смоделировать достаточно сложные эффекты межотраслевого влияния медиандустрии и производственных фирм. В частности, на рынках с двойной монополией (единственная медиафирма, единственный производитель) обнаруживает «засорение» рекламой каждой единицы контента, за счет чего цена на него снижается до себестоимости. При этом и монополист-производитель сможет опустить цену на свой товар значительно ниже «обычного» монопольного уровня почти до себестоимости – за счет возрастания спроса на него из-за рекламы. При этом сама реклама обходится ему очень недорого – также за счет определенной терпимости к ней аудитории. При этом за счет низких цен на контент и товары объемы их потребления достаточно высоки, чтобы обеспечить обеим фирмам положительную прибыль. Если же на рынке действуют хотя бы по компании – как медийных, так и производственных – и возникает дифференциация и товара, и контента, то в соответствующей модели существует равновесие с «кооперацией» медиафирм и производителей. Медиафирмы назначают одинаковые цены на рекламу, а каждый производитель покупает рекламу только у одной из них. Таким образом, будучи независимыми компаниями, производители и медиафирмы разбиваются на «пары», фактически формирующие маркетинговые каналы. Начата работа по поиску условий оптимальности для стохастических моделей с бесконечным горизонтом (Беляков А.О.) Курбацкий А.Н. Исследование влияния доходности государственных казначейских облигаций США на доходность взаимных фондов. Полученные результаты указывают на: • неэффективность рынка ценных бумаг и целесообразность активной стратегии управления инвестиционным портфелем взаимных фондов; • влияние макроэкономических условий на эффективность управления фондами помимо влияния структурных факторов; • возможный будущий рост доходностей по 10-летним казначейским облигациям США, что позволит активно управляемым стратегиям более успешно конкурировать с пассивными (индексными), что дает шанс на выживание небольшим управляющим компаниям; • возможность хеджирования риска проигрыша рынку. Последний вывод является ключевым для управляющих взаимными фондами. Достаточно выделить 5% активов портфеля на инвестирование в плечевые ETFs или на приобретение срочных контрактов (фьючерсы или опционы) на облигации. Плечевые ETFs могут дать экспозицию в 200–300% на долгосрочные казначейские облигации, что позволяет в значительной степени застраховать имеющиеся риски, при этом избегая высоких транзакционных издержек от покупки казначейских облигаций напрямую. Фантаццини Д. 1) Обнаружено, что в подвыборке (01.08.2016 - 04.12.2017) хешрейт и модели затрат на производство (CPM) никогда не были значимыми, ни как эндогенные, ни как экзогенные переменные, и окончательная модель представляет собой двумерную VECM (1) для цены биткойна и данных поиска в Google, с объемом транзакции и комиссией за транзакцию в качестве экзогенных переменных, а также анализом причинности. Также обнаружена значимая коинтеграционная взаимосвязь во второй подвыборке (12.11.2017 - 24.02.2020) между ценой биткойна и хешрейтом или его прокси, а данные Google, объем транзакции и комиссия за транзакцию оказались значимыми экзогенными переменными. Модели, использующие хешрейт, показали результаты тестов на спецификацию лучше, чем модели, использующие CPM, а запаздывающее влияние цен на биткойны на хешрейт обычно было более длительным, чем такое же влияние на CPM. В целом, наш анализ показал, что при моделировании его взаимосвязи с ценой биткойна лучше рассматривать непосредственно хешрейт, а не его прокси, представленный моделью стоимости добычи биткойна. Более того, причинно-следственная связь всегда является однонаправленной: от цены биткойна до хешрейта / CPM, с лагами от 1 до 6 недель спустя (в зависимости от спецификации модели): таким образом, эти результаты согласуются с большим количеством литературы в области энергетики. экономика, которая показала, что доход от нефти и газа влияет на покупку буровых установок с задержкой до 3 месяцев, тогда как влияние изменений в количестве буровых установок на доходность нефти и газа ограничено или незначительно. 2) Данные Google Trends по темам «коронавирус» и «пневмония», отфильтрованные с использованием категории «Здоровье», оказались надежными для прогноза количества новых ежедневных случаев и смертей от COVID-19 для большого количества стран. Данные Google могут дополнять эпидемиологические модели в трудные времена, такие как продолжающаяся пандемия COVID-19, когда официальная статистика может быть не полностью надежной и / или публикуется с задержкой. Политики и чиновники здравоохранения могут использовать поиск в Интернете, чтобы проверить, как развивается пандемия, и / или проверить эффект своих политических действий по сдерживанию болезни и изменить их, если эта политика окажется неудовлетворительной. Это особенно важно сейчас, когда несколько стран решили заново открыть свою экономику, так что отслеживание в реальном времени с онлайн-данными является одним из инструментов, которые можно использовать для удержания ситуации под контролем. Мироненков А.А. Проанализирована специфика применения взвешенных главных компонент, предложены направления применения и дальнейшего развития предлагаемого метода. Более полные результаты оформлены в виде статьи и отправлены в журнал из базы Web of Science Core Collection ( список Emerging Sources Citation Index). Б.И. Шигида Анализ поведения вероятностей разорения и других оценок функционирования компании для различных моделей страхования и цен рисковых активов. Рассмотрена следующая модификация предыдущих условий в критическом случае: корень beta = q_2 лежит на границе эффективной области (является её правым концом). Показано, что в таком случае асимптотика зависит от левой производной H в точке q_2 . Если эта производная конечна, то F(u) по-прежнему убывает как u^(- beta). В случае бесконечной производной при дополнительных предположениях асимптотика меняется: F(u) убывает, как u^(- beta) l(u), где l(u) не постоянная медленно меняющаяся функция. Э.Л. Пресман Рассмотрена задача управления запасами. Производителю нужно с постоянной интенсивностью потреблять промежуточный продукт, ценa которого зависит от состояния марковской цепи с непрерывным временем и конечным числом состояний. Kaк организовать склад, чтобы покупать преимущественно по малой цене. За хранение на складе нужно платить пропорциональнo количеству продуктa, имеющегося на складе, затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа, заказ осуществляется мгновенно. Kак организовать работу склада, чтобы минимизировать издержки на хранение и закупку продуктa. Рассмотрен случай дисконтированных издержек. Показано, что оптимальная стратегия закупок носит пороговый характер: для каждого состояния i существует порог ai, что если количество продуктa на складе x меньше ai, то надо разово произвести закупку до уровня этого порога, т.е. в количестве a_i - x, если x= a_i, то вплоть до следующего скачка марковского процесса надо закупать товар с единичной интенсивностью, чтобы запас на складе был равен пороговому значению ai, если x> a_i то проводить закупки не следует вплоть до следующего скачка марковского процесса или момента, когда значение запаса станет равным a_i. Оказалось, что если какие-то из переходных интенсивностей цепи равны нулю, то при некоторых соотношениях между параметрами оптимальное управление может оказаться неединственным. Порог остаётся, но если уровень запаса расположен между нулём и пороговым значением, то любая стратегия закупок, оставляющая уровень запаса внутри этого интервала, является оптимальной. Приводится система дифференциальных уравнение, которой удовлетворяют производные от функций выигрыша, приводится алгоритм построения оптимальных порогов и значений функций выигрыша и критерий отсутствия единственности.
4 1 января 2023 г.-30 декабря 2023 г. Этап 4
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".