ИСТИНА

Будут исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа. Перечисленные задачи будут решены спектральным методом, методом интегральных представлений. Планируется изучение ряда спектральных задач, содержащих спектральный параметр в разных формах в граничных условиях. Будут рассмотрены вопросы полноты, минимальности и базисности систем собственных функций таких задач. Особое внимание будет уделено случаям кратного спектра. Для некоторых задач математитичесой физики для параболических и параболо-гиперболических уравнения на основе результатов, полученых спектральным методом, планируется получение точных априорных оценокрешений с использованием специально разработанных подходов и исследование вопроса об однозначной разрешимости. Планируется изучение корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности со смешанной производной в одном из граничных условий и другим граничным условием третьего рода. Планируется построение спектральным методом решений этой задачи. Будут рассмотрены соответствующие задачи на собственные значения. Планируется изучить свойства вырождающихся особых интегральных операторов типа свертки с инволюцией и переменными коэффициентами, в частности, суперпозиции таких операторов и их обращение с помощью метода операторной факторизации. Планируется изучить зависимость между порядком вырождения указанных операторов и необходимыми условиями разрешимости (т.н. условиями ортогональности) соответствующих уравнений. В качестве приложения планируется исследовать асимптотику собственных функций и спектра некоторых интегральных операторов. Кроме того, планируется исследовать сингулярные интегральные операторы, возникающие в неклассических краевых задачах для уравнений смешанного типа.

Будут доказаны теоремы о разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа и для уравнения теплопроводности. Будут доказаны теоремы о спектральных задачах. Будут доказаны теоремы о свойствах интегральных операторов. Будут получены результаты о сингулярных интегральных операторах, возникающих в неклассических краевых задачах для уравнений смешанного типа.

Е.И. Моисеевым и его учениками разработан спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В совместных работах Е.И. Моисеева и его учеников изучались полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности, базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности, полнота и базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения, базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля, базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения. Была решена задача Неймана-Трикоми, когда эллиптическая часть области является полуполосой, с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. Получено интегральное представление решения. В работах Н.Ю. Капустина изучены вопросы полноты, минимальности и базисности систем корневых функций для задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих при математическом моделировании колебательных процессов с нагрузками и процессов теплопередачи в средах, граничащих с объектами, имеющими большую теплоемкость. Особое внимание было уделено случаям появления кратных собственных значений и разработке алгоритмов построения биортогонально сопряженных систем. В работах А.А. Полосина разложения по собственным функциям были применены для изучения нестандартных несамосопряженных спектральных задач для оператора Лапласа.

2021 Была изучена задача задача для уравнения Штурма-Лиувилля с однородным граничным условием и условием третьего рода с квадратом спектрального параметра и комплексным физическим параметром. Рассмотрен случай появления кратного собственного значения. В работе, опубликованной в 2021 году, установлена базисность в Lp подсистемы собственных функций без любой удаленной собственной функции, отвечающей простому собственному значению. Для такого базиса построена биортономированная система. Сформулирована задача математической физики из теории уравнения теплопроводности, которая при решении методом разделения переменных приводит к рассматриваемой спектральной задаче. Была изучена смешанная задача для уравнения теплопроводности, особенностью которой является наличие наклонной производной в граничном условии. При решении этой задачи методом разделения переменных возникает спектральная задача. Для этой задачи были построены в явном аналитическом виде системы собственных функций и биортогонально сопряженная система функций. Решения исходной смешанной задачи было построено в виде ряда Фурье по системе собственных функций. Существование решения обеспечено при условии принадлежности начального условия классу Гёльдера. Однако, решение не является единственным. Показано, что дополнительное условие гарантирует единственность решения, это решение так же предъявлено в работе. Рассматривались вопросы, связанные с регуляризацией вырождающегося особого интегрального оператора с инволюцией и переменными коэффициентами, возникающего при изучении асимптотического поведения спектра и собственных функций компактного самосопряженного оператора. Для проведения регуляризации исходное особое интегральное уравнение сведено к уравнению, содержащему суперпозицию сингулярных интегральных операторов с вырождающимися коэффициентами. Найдены необходимые и достаточные условия обращения этих операторов в рассматриваемом классе решений. Кроме того, подробно изучены свойства канонических функций, возникающих при решении соответствующих задач сопряжения аналитических функций. 2022 Как известно, одномерные интегральные уравнения типа свёртки, рассматриваемые на конечном отрезке, в общем случае не решаются в квадратурах, в отличие от аналогичных уравнений, рассматриваемых на всей прямой или на полупрямой. По этой причине при исследовании их спектра приходится использовать те или иные асимптотические методы. В работе рассмотрен интегральный оператор типа свёртки с логарифмическим ядром, заданный на конечном отрезке. С помощью преобразования Фурье задача последовательно сведена к задаче сопряжения и к сингулярному (особому) интегральному уравнению на полупрямой, интегральный оператор в котором не является сжимающим. Показано, что главная часть полученного интегрального уравнения допускает обращение в явном виде. Рассмотрены случаи четной и нечетной собственной функции, в каждом из которых найдена асимптотика собственных значений и собственных функций исходного оператора. Были изучены свойства вырожденного сингулярного интегрального оператора с переменными коэффициентами и соответствующие канонические функции для сопряженных задач. Интегральные операторы задаются на положительной полуоси и имеют вырождение в точке 0. Канонические функции найдены в явном виде и изучено их асимптотическое поведение в краевых точках. Эти данные могут быть полезны при исследовании принадлежности решений разным функциональным классам. Кроме того, даны примеры интегралов, которые содержат канонические функции. ассматривались две спектральные задачи для уравнений Бесселя нулевого и первого порядка с одним характеристическим уравнением. Одна задача содержит спектральный параметр в граничном условии, другая спектрального параметра в граничных условиях не содержит. Рассмотрена первая смешанная задача для волнового уравнения в цилиндрической области. С помощью метода характеристик получена явная формула классического решения данной задачи, а также найдены условия согласования на исходные функции, гарантирующие достаточную гладкость решения во всей области. Было применено неравенство типа Похожаева к задаче смешанного типа с двумя ортогональными линиями вырождения и нелинейностью степенного типа. Приводится обзор установленного результата для несуществования нетривиального регулярного решения задачи. Мы описываем расширение результата для несуществования нетривиального регулярного решения до обобщенного решения. 2023 Найдено решение задачи для уравнения Бесселя, вообще говоря, произвольного порядка со спектральным параметром в граничных условиях. Такая задача возникает при решении задач теплопереноса и колебаний нагруженных тел методом разделения переменных. Выписана система собственных функций и характеристическое уравнение для собственных значений в случае комплексного физического параметра.