ИСТИНА

Изучить коизотропные гамильтоновы действия групп Ли на симплектических многообразиях, построить максимальные коммутативные подалгебры в алгебре Пуассона P(g) алгебры Ли g с помощью различных модификаций метода сдвига аргумента. Наконец, поднять вышеупомянутые коммутативные подалгебры в универсальную обертывающую алгебру U(g) и применить полученные подалгебры к теории представлений.

The project is devoted to the following three interconnected topics: 1) Study of coisotropic Hamiltonian actions of Lie groups on symplectic manifolds, in particular, reductive group actions on cotangent bundles of spherical varieties. 2) Construction of maximal commutative subalgebras in the Poisson algebra P(g) of a Lie algebra g using various modifications of the argument shift method. 3) Lifting the above-mentioned commutative subalgebras to the universal enveloping algebra U(g) and applying the resulting subalgebras to representation theory, in particular, to constructing canonical bases in finite-dimensional representation spaces of semisimple Lie algebras.

Для каждого квазиаффинного орисферического однородного пространства X редуктивной группы G будут найдены все конечные группы эквивариантных симплектических бирациональных автоморфизмов кокасательного расслоения T*X, фактор по которым есть, с точностью до эквивариантного симплектического бирационального изоморфизма, кокасательное расслоение некоторого сферического однородного пространства группы G. Согласно результату руководителя проекта, таким способом могут быть получены кокасательные расслоения всех квазиаффинных сферических однородных пространств группы G. Запланированный результат означает построение "теории Галуа" сферических однородных пространств. Будут изучены новые классы коммутативных подалгебр в алгебрах Пуассона P(g) полупростых алгебр Ли g, получаемые сдвигами инвариантов вдоль сингулярных элементов алгебры g и как пределы подалгебр сдвигов инвариантов. Будут построены максимальные коммутативные подалгебры в алгебрах P(g), ассоциированные с разложениями алгебры g, как векторного пространства, в прямую сумму двух подалгебр. Для пары согласованных скобок Пуассона в полупростой алгебре Ли g, первая из которых — стандартная, а вторая получается из нее "замораживанием аргумента", с помощью метода Кронекера будет построен канонический базис билагранжева подпространства и соответствующий полный набор функций в биинволюции. Будут изучены возможные вырождения подалгебр Бете в янгианах полупростых алгебр Ли и описаны спектры подалгебр Бете в конечномерных представлениях янгианов, связанных с когомологиями колчанных многообразий. Для коммутативных подалгебр обертывающей алгебры U(g) полупростой алгебры Ли g, получаемых поднятием подалгебр сдвига инвариантов на вещественные регулярные полупростые элементы алгебры g, будет проверена гипотеза о том, что уже элементы первой и второй степени такой подалгебры (допускающие простое явное описание) имеют простой спектр в любом неприводимом представлении алгебры g. Для неприводимых представлений особых простых алгебр Ли будут изучены свойства канонических базисов в смысле Винберга (получаемых применением к старшему вектору степеней отрицательных корневых операторов, взятых в определенном порядке) и, в частности, проверены гипотезы Винберга. Будут исследованы sl(2)-градуировки (в смысле Винберга) простых алгебр Ли с неприводимыми компонентами размерностей 1,2 и 3 и тем самым получено обобщение конструкции Титса-Кантора-Кёхера, связывающей простые алгебры Ли с простыми йордановыми алгебрами. Запланированные результаты будут иметь приложения к теории алгебраических групп преобразований, теории представлений и обнаружению новых классов интегрируемых гамильтоновых систем.

В работе Л.Г. Рыбникова [6] была доказана возможность поднятия в алгебру U(g) всей подалгебры A(ξ) для любого регулярного элемента ξ. В статье [5] доказано, что для элемента ξ общего положения алгебра A(ξ), а также ее поднятие A^(ξ) в обертывающую алгебру совпадает с централизатором своих элементов степени 1 и 2. В статье [7] для вещественного регулярного полупростого элемента ξ доказана простота спектра алгебры A^(ξ) в любом неприводимом представлении алгебры g. В работе [9] описана компактификация пространства параметров алгебры A^(ξ), построена структура кристалла Кашивары на спектре алгебры A^(ξ) в конечномерном представлении алгебры g и вычислена монодромия спектра в терминах этой кристаллической структуры. В работах Д.И. Панюшева и О.С. Якимовой [10]-[12] были исследованы некоторые стягивания полупростых алгебр Ли и свойства их коприсоединенных представлений. В [13] было показано как по градуировке по модулю 2 полупростой алгебры Ли g=g_0+g_1 построить пуассон-коммутативную подалгебру максимальной степени трансцендентности в алгебре g_0-инвариантов алгебры Пуассона P(g). Доказано, что для "хороших" инволюций (кроме четырех особых случаев), эта алгебра будет свободной. В дипломной работе А.А. Гаража [3] с помощью метода Кронекера была построена кронекерова часть базиса билагранжева подпространства для пары согласованных скобок Пуассона определенного типа на алгебре Ли gl(n), а также соответствующие системы функций в биинволюции на gl(n). А.А. Горницкий исследовал канонические базисы в смысле Винберга в пространствах неприводимых представлений алгебр Ли G_2 [4] и so(n) [8].