ИСТИНА

Целью настоящего проекта является анализ ряда новых конструкций в теории интегрируемых биллиардов и продвижение в задаче моделирования такими биллиардами и их обобщениями поведения других динамических систем. Ожидается, что при этом будут разработаны новые методы исследования топологических и динамических свойств интегрируемых биллиардов и найдены новые эффекты, возникающие при комбинации нескольких модификаций классических биллиардов, сохраняющих интегрируемость биллиардной системы. Основные классы рассматриваемых биллиардов и их свойства, интересующие нас, перечислены ниже и объединены в основные темы I - IV: (I) Новые классы интегрируемых биллиардов с 2 степенями свободы и их топологические свойства (II) Биллиардные системы с тремя степенями свободы их топологические свойства (III) Биллиарды с двумя степенями свободы на клеточных комплексах «малой сложности» (т.е. с малым числом пересекающихся дуг склейки их элементарных частей) и их топологические инварианты (IV) Эквивалентность интегрируемых систем и биллиардов, препятствия к этому В настоящее время теория интегрируемых биллиардов и теория интегрируемых систем в целом испытывают бурный рост и находят новые связи и приложения как в смежных областях математики: алгебре, топологии, геометрии, так и в более прикладных задачах механики и физики.

The aim of this project is to analyze the new constructions of the theory of integrable billiards and to develop on a problem of modelling a behavior of dynamical systems by these billiards and their generalizations. We expect that new methods of research of topological and dynamical properties of integrable billiards will be investigated and also some new effects appearing for the combination of several modifications of the classical billiards, which preserves an integrability of billiard systems, will be found. The main classes of considered billiards and its important properties are listed and joined into the topics 1-4 as following: (I) New classes of integrable billiards with two degrees of freedom and their topological properties (II) Billiard systems with three degrees of freedom and their topological properties (III) Billiards with two degrees of freedom in the “low-complexity” CW-complexes (which means the CW-complexes with few number of intersecting arcs of gluing of their elementary domains) and their topological invariants (IV) Equivalence of integrable systems and billiards and obstacles. Nowadays the theory of integrable billiards and theory of integrable systems in general grow rapidly and their new applications and connections with branches of mathematics as algebra, topology, geometry and applied problems of mechanics and physics are investigated.

1) Изучение топологических свойств слоений Лиувилля и поведения траекторий следующих классов интегрируемых биллиардов: 1.1) Будут классифицированы плоские и топологические магнитные биллиарды, столы которых ограничены концентрическими окружностями. Будут построены бифуркационные диаграммы магнитных биллиардов, вычислены топологические инварианты их слоений Лиувилля и описано поведение их траекторий. 1.2) Будут изучены топологические свойства биллиардов с "проскальзыванием" частицы на некоторое расстояние вдоль границы после удара для случаев плоских биллиардов, ограниченных концентрическими окружностями или конфокальными эллипсами и гиперболами, а также их обобщений -- топологических биллиардов. Будут вычислены топологические инварианты их слоений Лиувилля и описано поведение траекторий. 2) Изучение интегрируемых биллиардов с тремя степенями свободы. 2.1 Будут классифицированы столы интегрируемого трехмерного биллиарда во внутренности трехосного эллипсоида, ограниченные софокусными квадриками в трехмерном пространстве, биллиард в которых интегрируем. Будут найдены их топологические инварианты (бифуркационные диаграммы и типы перестроек регулярных торов). 3) Будут классифицированы интегрируемые биллиардные книжки малой сложности (две или три дуги склейки), чьи дуги склейки попарно пересекаются. Для них будут вычислены инварианты Фоменко-Цишанга. 4) Доказательство или поиск препятствий эквивалентности интегрируемых систем и биллиардов. 4.1) В классе биллиардов с проскальзыванием будут реализованы геодезические потоки, обладающие линейным интегралом на неориентируемых двумерных компактных многообразиях, или будет обоснована невозможность этого в указанном классе биллиардов. 4.2) В классе биллиардных книжек будут реализованы биллиардами слоения Лиувилля с произвольным значением класса Эйлера на произвольном многообразии Зейферта типа прямого произведения (т.е. будет реализована любая «семья» из седловых особенностей с гомологичными особыми окружностями, имеющими ориентируемые сепаратрисные диаграммы) или будет обоснована невозможность этого. 4.3) Будет проверено, являются ли известные свойства интегрируемых систем препятствиями к реализации их слоений Лиувилля интегрируемыми биллиардами, в частности топологическая неустойчивость системы и расщепляемость по Зунгу ее особенности.

Научной школой А.Т. Фоменко давно и плодотворно исследуются топологические, алгебраические, геометрические и динамические свойства интегрируемых систем. Были получены фундаментальные теоретические результаты о видах особенностей таких систем и о классифицирующих инвариантах., например, с точки зрения послойного гомеоморфизма (инвариант Фоменко-Цишанга). Руководитель проекта В.В.Ведюшкина разработала оригинальные методы работы с кусочно-гладкими системами интегрируемых биллиардов. В.В.Ведюшкиной были посчитаны топологические инварианты широкого круга интегрируемых биллиардов и траекторные инварианты важнейших примеров элементарных плоских биллиардов. На основе этих результатов В.В. Ведюшкина и А.Т. Фоменко предложили подробную и проработанную программу исследований в области интегрируемых биллиардов (Вестник МГУ, 2019). Основными средствами ее реализации предполагаются классы интегрируемых биллиардов, открытые В.В. Ведюшкиной, и ряд других интегрируемых биллиардов, изучавшихся в работах ведущих ученых мирового уровня в интегрируемых системах и биллиардах: биллиарды с потенциалами (В.В.Козлов, Ю.Н. Федоров, другие), магнитные биллиарды (А.Е. Миронов, М. Бялый), предложенные А.Т.. Фоменко биллиарды с проскальзыванием как подкласс биллиардов с нетривиальным законом преломления на границе, рассматривавшихся Е.А. Кудрявцевой (2015) на основе подхода В.Ф.Лазуткина склейки фазового пространства гамильтоновой системы из отдельных частей, геодезические биллиарды, т.е. движение частицы по двумерной квадрике по геодезическим с отражением от границы, являющейся линией пересечения с другой квадрикой того же семейства (такие биллиарды, согласно В.В. Козлову и Д.В.Трещеву, интегрируемы). Семь студентов и аспирантов (сорук. В.В.Ведюшкина, А.Т. Фоменко) успешно проводят свои исследований и получают, в т.ч., самостоятельные результатов: ими опубликовано более 10 работ, индексируемых Wos CC или Scopus, не менее 7 из которых – самостоятельно.