ИСТИНА

Проект направлен на решение следующих фундаментальных проблем теории функций. Оценки колмогоровских поперечников существенно нелинейных функциональных классов и аппроксимационных свойств нелинейных операторов. Нахождение подматриц данной матрицы с экстремально малыми операторными нормами. Изучение сходимости почти всюду рядов по общим ортогональным системам и свойств мажоранты частных сумм. Исследование асимптотики тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами. Расширение класса тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами с сохранением его основных свойств. Нахождение областей однолистности голоморфных функций заданных классов. Оценивание производных голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками. Изучение сходимости и скорости сходимости жадных приближений. Поиск условий на множество M банахова пространства X, достаточных для того, чтобы множество всевозможных сумм M + ... + M было плотно в пространстве X.

The first sets of extremal problems were related to the period of establishment of Mathematics as a science, and they were essentially connected to practical human activities. Nevertheless, over time the questions of extremal values of various quantitative features or of their quite precise estimates have appeared in the majority of the areas of Mathematics. Moreover, they often refer to more natural subjects, satisfying common standards of beauty and significance. The present project is devoted to solving some extremal problems of function theory and functional analysis. Besides, it is supposed to pay considerable attention to possible applications of the obtained results. It is worth mentioning that the importance of applications of various areas of function theory and functional analysis has significantly increased during last 10-15 years. The results which used to be seen as purely theoretical happened to be needed in practice. The reason was the fast development of information technology and the necessity to create optimal algorithms, which would be able to handle large amount of information. A clear illustration directly connected to the present project is so-called «compressed sensing», which is a very quickly developing direction in working with data. The results of approximation theory about estimates of the Kolmogorov width, obtained in Soviet Union back in 70-80 of the previous century, became a mathematical fundament for this area. Nowadays there are tens of thousands of publications on this topic, and the algorithms using «compressed sensing» are widely brought into practice (unfortunately, not in Russia). One of the important components for some of these algorithms — the so-called «greedy approximations» is also planned to be investigated within the project. There is another topic, which is important for both theoretical questions and applications, namely, investigation of submatrices with determined extremal properties of a given matrix of a high dimension. This direction appeared also in the Soviet Union, in view of not practical problems of almost everywhere convergence of orthogonal series, and developed into a self-contained area of functional analysis. Its results turned out to be sought after in information technology for solving problems of a graph sparsification (i.e., of substitution of a big graph by its small subgraph with similar spectral properties). They also allow providing acceleration of classical algorithms of solving systems of linear equations in high dimension. The participants of the project have lately obtained a number of important results on submatrices with extremal properties. One of the problems of the project is to investigate this topic extensively. Studying the properties of submatrices of a given matrix is directly connected to one more topic which is to be studied during the project - that is discretization on functional systems. Classical results of theory of trigonometric series states equivalence of the norm of a trigonometric polynomial of degree N (in the most important spaces for theory and practice) and the corresponding discrete analogue, calculated using the values of the polynomial on the uniform grid with the number of lattice points of the order N. In the case of considering some other important finite-dimensional spaces of function instead of the space of trigonometric polynomials, the problem of finding a grid with the minimal possible number of elements using the values of a function, on which it would be possible to strictly estimate its original norm, appears in various theoretical and applied questions, but it turns out to be much more complicated. The next range of extremal problems which are planned to be studied during the project is related to the classical perspective of convergence of one-dimensional and multiple trigonometric series. Here we have strict estimates, using analytical methods, of one-dimensional and multiple trigonometric polynomials, based on their spectra and coefficients. In the important for applications case of one-dimensional polynomials with a polynomial spectrum the participants of the project have obtained the results that are close to final ones. One more essential direction which is planned to be studied is related to the problems of finding domains of univalence of analytic functions. Conditions of univalence and domains of univalence of analytic functions belong to traditionally important topics of geometrical function theory. Univalence implies a number of other geometrical and analytic properties of a function. It is often connected to physical realization of a mathematical model in applications. That is why the topic is so relevant and significant in both theory and applications. Such invariants as fixed points of a mapping play an important role in research of this area. The first results on the sharp domain of univalence on the class of functions mapping the unit disc into itself and having an interior fixed point were obtained in the 20s of the previous century. Further, it turned out that a holomorphic mapping of the unit disc into itself with two fixed points (one of them in nontrivial case should lie on the boundary) has domains of univalence for some values of the angular derivative at the fixed point on the boundary. The participants of the project have recently managed to extend domain of univalence on the class of functions with an interior and a boundary fixed points and investigate the question of preciseness of the obtained domains of univalence. Success in solving this problem is associated with the effective penetration of real analysis methods into the problems of the theory of functions of a complex variable discovered by the project participants. During the project it is planned to obtain the final solution to the extremal problem of finding the domain of univalence on a given class of functions. Thus, modern research of domains of univalence will be finalized and some classical results will be clarified. The methods planned to involve proceeding with problems, which are supposed to be studied during this project, are quite diverse. In addition to the classical tools of function theory it is necessary to apply modern methods of high-dimensional geometry, probability theory, combinatorics, number theory, complex analysis. Besides, the use of known results is not sufficient for achieving the goals of the project. The participants of the project are supposed to get advances in the mentioned areas.

Общий план работы. 2021 г. Планируется подготовить и сдать в печать 8 работ в центральные российские журналы (в том числе из Q1), возможно две из них в зарубежные. Планируется защита докторской диссертации члена научной группы А.П. Солодова. 1) Получить новые результаты об оценках (p, q)-норм подматриц при 1<q<2. (Ответственные: Кашин Б.С., Лимонова И.В.) 2) Получить оценки поперечников образов линейных подпространств при действии нелинейных операторов, в частности оператора взятия абсолютной величины. (Ответственные: Кашин Б.С.) 3) Получить асимптотику суммы рядов по синусам на классе выпуклых, медленно меняющихся последовательностей в регулярном случае. (Ответственные: Солодов А.П.) 4) Построить пример дискретной ортонормированной системы, устанавливающий точность теоремы Меньшова— Радемахера о множителе Вейля для сходимости почти всюду рядов по общим ортогональным системам. При этом матрица, определяющая ортонормированную систему, должна иметь улучшенные характеристики в сравнении с матрицами Гильберта и Паскевича. (Ответственные: Солодов А.П.) 5) Получить точную область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками, имеющих ограничение на значение угловой производной в граничной неподвижной точке (Ответственные: Солодов А.П.) 6) Получить неулучшаемые оценки для первых двух коэффициентов Тейлора на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и произвольным набором граничных неподвижных точек.(Ответственные: Кудрявцева О.С.) 7) Получить для класса GM(R) преобразований Фурье четных (нечетных) интегрируемых функций на прямой, обобщающего класс монотонных на полупрямой преобразований Фурье, критерии принадлежности исходной функции заданным классам H^{\omega}(R), L_p(R) и H^{\omega}_p(R). (Ответственные: Дьяченко М.И.) 8) Доказать усиление неравенства Джона—Ниренберга для рядов типа Римана. (Ответственные: Оганесян К.А.) 9) Получить неослабляемые достаточные условия сходимости жадных разложений с фиксированными коэффициентами (Ответственные: Валиуллин Ал.Р.) 10) Получить условия на кривую Г, проходящую через 0, в равномерно выпуклом равномерно гладком банаховом пространстве X, достаточные для того чтобы множество всевозможных сумм Г + ... + Г были плотны в пространстве X. (Ответственные: Шкляев К.С.) 2022 г. Планируется подготовить и сдать в печать 6 работ в центральные российские журналы (в том числе из Q1), возможно две из них в зарубежные (в том числе из Q1). 1) Получить новые результаты о дискретизации функциональных систем. (Ответственные: Кашин Б.С., Лимонова И.В.) 2) Получить точные двусторонние оценки сумм некоторых классов рядов по синусам с монотонными и квазимонотонными коэффициентами. (Ответственные: Солодов А.П.) 3) Получить усиление неравенства Жюлиа—Каратеодори на классе голоморфных функций, отображающих единичный круг в себя, переводящих точку z=a в точку z=b, и при наличии информации о значении производной в точке z=a. (Ответственные: Солодов А.П., Кудрявцева О.С.) 4) Получить неослабляемые достаточные условия сходимости приближенных жадных разложений. (Ответственные: Валиуллин Ал.Р.) 5) Найти условия на n-мерную поверхность M в банаховом пространстве X, достаточные для того, чтобы множество всевозможных сумм M + ... + M было плотно в банаховом пространстве X. (Ответственные: Шкляев К.С.) 2023 г. Планируется подготовить и сдать в печать 6 работ в центральные российские журналы (в том числе из Q1), возможно две из них в зарубежные. 1) Получить оценки снизу для рядов по синусам на классе alpha-монотонных (1<alpha<2) последовательностей (этот класс занимает промежуточное положение между классом монотонных последовательностей и классом выпуклых последовательностей). (Ответственные: Солодов А.П.) 2) На классе голоморфных отображений единичного круга в себя с внутренней и произвольным набором граничных неподвижных точек получить точные оценки множества значений производной n-го порядка во внутренней неподвижной точке. (Ответственные: Солодов А.П., Кудрявцева О.С.) 3) Изучить влияние ошибок в вычислении коэффициентов на скорость сходимости приближенных жадных разложений. (Ответственные: Валиуллин Ал.Р.) 4) Получить условия на открытое множество U с границей M в пространстве R^n, достаточные для того, чтобы суммы функций вида |x-a|^{-n+2} + const. с полюсами на M были плотны в пространстве гармонических внутри U функций с точностью до констант. (Ответственные: Шкляев К.С.)

Получены фундаментальные результаты об оценках поперечников и об ограничении операторов на координатные подпространства (Кашин Б.С., 70-80 гг. 20 в.) Даны условия на матрицу с единичной операторной (2,1)-нормой, которые обеспечивают существование разбиения этой матрицы на две подматрицы с (2,1)-нормами, близкими к 1/2. (Кашин Б.С., Лимонова И.В., 2017, 2019) Получена модификация функции Салема, которая дает оценку снизу сумм рядов по синусам на классе всех выпуклых последовательностей коэффициентов с эффективной точностью. (Солодов А.П., 2016) Найдены асимптотически неулучшаемые оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами специальных классов через мажоранту Салема. (Солодов А.П. совм. с Поповым А.Ю., 2018) Найдены точные константы в двусторонней оценке С.А. Теляковского суммы ряда по синусам с выпуклыми коэффициентами. (Солодов А.П., 2020) Получены двусторонние оценки областей однолистности на классах голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками. (Кудрявцева О.С., Солодов А.П., 2019) Критерии принадлежности суммы тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами классам H^{\omega}, L_p и H^{\omega}_p установлены для сумм рядов с коэффициентами из класса GM. Разработан новый метод изучения тригонометрических рядов с коэффициентами из класса GM. (Дьяченко М.И.) Получены критерии равномерной сходимости рядов \sum_{k=1}^{\infty} c_k \sin k^{\alpha}x при натуральном \alpha на всей прямой и при 0 < \alpha < 2 на произвольном отрезке для RBVS-последовательностей. (Оганесян К.А.) Усилен результат об условиях, достаточных для сходимости жадных разложений с фиксированными коэффициентами. (Валиуллин Ал.Р. совм. с Валиуллиным Ар.Р. и Галатенко В.В., 2018) Доказана теорема о плотности аддитивной полугруппы, порожденной наипростейшими дробями. (Шкляев К.С. совм. с Бородиным П.А., 2021)

В первый год выполнения проекта планируются получить следующие результаты. Будут получены оценки поперечников образов линейных подпространств при действии оператора взятия абсолютной величины f \to |f| в пространстве L^2(0, 1). (Кашин Б.С.) Планируется доказать существование разбиения матрицы на две подматрицы с экстремально малыми (2,q)-нормами, при следующих условиях: столбцы матрицы образуют ортонормированную систему, а евклидовы нормы строк малы. (Кашин Б.С., Лимонова И.В.) При 1<q<2 будет показано существование разбиения матрицы на две подматрицы с меньшими нормами при единственном необходимом условии малости нормы строк. (Лимонова И.В.) Будет получена асимптотика суммы рядов по синусам на классе выпуклых, медленно меняющихся последовательностей в регулярном случае. (Солодов А.П.) Будет построен пример ортонормированной системы, устанавливающий точность теоремы Меньшова—Радемахера о множителе Вейля для сходимости почти всюду рядов по общим ортогональным системам. Предлагаемая ортонормированная система будет порождаться ортогональной матрицей, имеющей улучшенные характеристики в сравнении с матрицей Гильберта. (Солодов А.П.) Будет найдена точная область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками, имеющих ограничение на значение угловой производной в граничной неподвижной точке. Этот результат станет усилением теоремы Ландау для функций соответствующего класса. (Солодов А.П.) Будут получены неулучшаемые оценки для первых двух коэффициентов Тейлора на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и произвольным набором граничных неподвижных точек. (Кудрявцева О.С.) Будет введен в рассмотрение новый класс преобразований Фурье четных (нечетных) интегрируемых функций на прямой, обобщающий класс монотонных на полупрямой преобразований Фурье, являющийся непрерывным аналогом класса тригонометрических рядов с обобщенно-монотонными коэффициентами. Для этого класса будут получены критерии принадлежности исходной функции заданным классам H^{\omega}(R), L_p(R) и H^{\omega}_p(R). (Дьяченко М.И.) Будет доказано усиление неравенства Джона—Ниренберга для рядов типа Римана. (Оганесян К.А.) Будут получены неослабляемые достаточные условия сходимости жадных разложений с фиксированными коэффициентами. (Валиуллин Ал.Р.) Будут получены неослабляемые достаточные условия сходимости приближенных жадных разложений в случае характеризации ошибок (погрешностей) в вычислении коэффициентов их абсолютными величинами. (Валиуллин Ал.Р.) Будет доказана следующая теорема. Пусть в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве X задана спрямляемая кривая s={s(t): t из [0,1]}, имеющая конечное число нулей 0 = t_0< t_1< ... <t_m= 1, причем для всякого j = 0,...,m существуют пределы lim s(t)/||s(t)|| при t стремящихся к t_j снизу и сверху. Пусть неотрицательная функция q определенная на [0,1] \ {t_0, ... , t_m} непрерывна на каждом интервале (t_j,t_{j+1}) и для каждого j= 0,...,m существует конечный ненулевой предел lim q(t)s(t) при t стремящихся к t_j, так что множества Г_j:= {q(t)s(t): t из [t_{j- 1},t_j]}, j = 1,...,m, являются непрерывными кривыми в X. Пусть, кроме того, все кривые Г_j спрямляемы и их объединение является разносторонним минимальным множеством в X. Тогда R(s)=X. (Шкляев К.С.)