ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ФНКЦ РР |
||
К основным целям проекта можно отнести следующее: - Исследование новых приложений классической леммы о диаманте для решения алгебраических и топологических задач, в частности, для построения инвариантов классических и виртуальных узлов, трехменых многообразий и узлов в трехмерных многообразиях. - Изучение групп G_n^k и \Gamma_n^k, введенных для изучения топологических инвариантов динамических систем, в частности, проблем тождества и проблем сопряженности в этих группах. - Изучение пространств триангуляций для различных двумерных и трехмерных многообразий, в частности, многообразий триангуляций и фундаментальных групп этих многообразий, а также групп кос многообразий произвольной размерности, введенных В.О. Мантуровым и И.М. Никоновым. - Изучение дальнейших инвариантов многомерных многообразий посредством изучений пространств модулей подмногообразий и отображений фундаментальных групп этих пространств модулей в соответствующие группы G_{n}^{k} и \Gamma_{n}^{k}. В частности, исследование многообразий Грассмана. - Развитие теории четности и ее обобщений для построения и усиления инвариантов узлов и зацеплений. В частности, поиск и исследование нетривиальных индексов на перекрестках классических узлов, родственных объектам теории четности, изучение полумеандрических (двухцветных) диаграмм узлов. - Исследование инвариантов трехмерных многообразий, в первую очередь - рода Хегора. Поиск оценок сверху на род Хегора в некоторых специальных случаях (в частности, в случае разветвленного накрытия 3-сферы с ветвлением над узлом определенного вида).
Knot theory and low-dimensional topology develop rapidly. During the recent decades many breakthroughs were made due to the appearance of the new ideas, connected to topology, algebra, combinatorics, geometry and physics. New invariants appeared, allowing to solve long-standing problems, and new directions of study were developed. In particular, the Khovanov homology theory solved the problem of recognition of the trivial knot. Most of invariants are valued in "simple" objects, which are far from "geometry" and "diagrams", therefore there is no direct way of judging the geometrical properties of the studied objects. In combinatorial group theory and in certain areas of low-dimensional topology the so-called root theory is popular (in group theory its analog is called "the diamond lemma"). The "roots" are minimal representatives, which are defined uniquely under certain conditions. That allows certain classification problems to be solved (such as word problem conjugacy problem, etc.). In the case of classical knots such "roots", "minimal diagrams" are, as a rule, trivial. In the case of virtual knots the parity theory, created by V.O. Manturov, yields explicit diagram-valued invariants (that is, invariants valued in finite geometric objects). That gives rise to the following principle: if a diagram is complicated enough, it can be found as a subdiagram of any equivalent diagram. Chord index theory may be regarded as a generalisation of the parity theory. The invariants, obtained earlier, become very thought after. They are constructed via the parity techniques, covering mappings and algebraic methods. An important place belongs to the actively developing theory of G_n^k groups, which have many epimorphisms onto free products of cyclic groups. That property allows to construc powerful invariants of braids and their generalisations, which can easily be compared. The present project is devoted to the study of actual problems of low-dimensional topology and combinatorial group theory using the new methods and techniques developed by the participants of the project.
- Решение проблем тождества и споряженности в некоторых группах G_n^k - Описание пространств триангуляций некоторых трехмерных многообразий и пространства петель в соответствующих многообразиях триангуляций - Вычисление групп кос для различных многообразий малой размерности - Построение отображений кос для двумерных поверхностей в группы G_n^k и \Gamma_n^k и получение при помощи этой техники инвариантов узлов - Развитие методов построения инвариантов виртуальных узлов, связанных с инвариантами плоских виртуальных узлов, основанных на теории индексов - Доказательство единственности разложения на примарные слагаемые для обобщений узлов в многообразиях - Изучение многообразий Грассмана с помощью групп G_n^k - Построение инвариантов со значениями в диаграммах - Построение структуры симплициальной группы на обобщениях группы кос
В.О. Мантуровым была создана теория четности. Эта теория и ее обобщения позволила построить новые мощные инварианты виртуальных узлов, усилить существующие инварианты. Была получена почти классификация свободных узлов, опровергнута гипотеза Тураева о тривиальности свободных узлов. Одно приложений этой теории - построение инвариантов со значениями в диаграммах. Доказано, что нечетная несократимая диаграмма узла является его инвариантом. Лемма о диаманте - важное утверждение, являющееся мощным инструментом получения результатов о существовании и единственности разложений различных топологических объектов на примарные слагаемые. Приложения леммы о диаманте и теории корней к задачам маломерной топологии развиваются С.В. Матвеевым. Доказаны тоермы единственности разложения на примарные компоненты. Одним и ярких обобщений и направлений развития теории четности является теория хордовых индексов, развиваемая А.Ю. Весниным и китайскими коллегами. Она позволяет получать новые инварианты со значениями в диаграммах, расширяя при этом спектр объектов, на которых соответствующие структуры (четность, индексы) нетривиальны. Д.П. Ильютко с коллегами изучает новое представление узла через полумеандрические диаграммы. Этот подход плодотворен, поскольку позволяет по-новому сформулировать задачи классификации и распознавания узлов и использовать новые методы в их решении. Исследование динамических систем на многообразиях тесно связано с понятием кос для произвольных многообразий и с триангуляциями многообразий. Участниками проекта получены результаты об отображении соответствующих объектов в группы специального вида. Как следствие, получены эффективно вычислимые и легко сравнимые инварианты. Исследование этих групп методами геометрической теории групп показало, что в некоторых из них может быть алгоритмически разрешена проблема тождества и сопряженности.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
3 | 5 июля 2021 г.-15 марта 2022 г. | Теория узлов, группы кос и триангуляции многообразий |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".