ИСТИНА

Доказано, что геометрическая вероятность падения скользящего динамически несимметричного диска равна нулю. Анализ основан на регуляризации уравнений в моменты падения диска и применении эргодической теоремы Шварцшильда-Литтлвуда. Найдены условия стабилизации неустойчивых равновесий зарядов в электрическом поле с помощью сильных магнитных полей. Показано, что вероятность стабилизации магнитным полем наугад выбранного направления больше 0.5. Показано, что задача о движении заряда по плоскому тору в магнитном поле одного направления имеет при каждом значении полной энергии не менее трех различных замкнутых траекторий. Обнаружены хаотические свойства динамики электронов в решетках Браве. Установлены оценки возможного числа независимых полиномиальных интегралов через xарактеристики ветвления решений в плоскости комплексного времени. Разработаны методы исследования устойчивости равноускоренных движений твердого тела в жидкости под действием следящей силы. Исследована диффузия переменных действие в сильно вырожденных гамильтоновых системах. Показано, что скорость диффузии может иметь степенной характер. Найдена классификация обратимых двумерных систем с торическим конфигурационным пространством, допускающих дополнительный полиномиальный интеграл. Оказалось, что все они решаются разделением переменных и что степень неприводимого полиномиального интеграла не превосходит двух. Показано, что в задаче о движении по плоскому тору под действием гироскопических сил неприводимые полиномиальные интегралы линейны по импульсам. Проведен детальный численный и асимптотический анализ задачи Чаплыгина о падении тяжелого твердого тела в безграничном объеме идеальной жидкости. Найдены двоякоасимптотические движения, когда твердое тело совершает заданное целое число полуоборотов. Дана классификация интегральных инвариантов у систем на трехмерных многообразиях с положительной энтропией. Установлен вариационный принцип для устойчивых инвариантных торов динамических систем, основанный на изучении усреднения вдоль траекторий. Развит метод исследования устойчивости равновесных состояний в системах с ударами. Изучены алгебры Ли, порожденные нелинейными скобками Пуассона, и с их помощью обнаружены новые изоморфизмы в динамике.

It was proved that the geometric probability of falling of a dynamically asymmetric sliding disk vanishes. The analysis is based on regularization of the equations in the moments of disk incidence and application of Schwarzschield- Littlewood ergodic theorem. Conditions of stabilisation of unstable equilibriums of particles in an electric field by strong magnetic force were found. It turned out that the possibility of stabilization by a magnetic force with randomly chosen direction is greater than 0.5. It was shown that the problem of a charge motion on a flat torus in a magnetic field of one direction has at least three different closed trajectories on every level of the total energy. The chaotic properties of the electron dynamics in Brave lattice were discovered. The estimates of possible number of independent polynomial integrals were found using the properties of the solution branching in the complex time plane. The methods of stability investigation of a rigid body uniformly accelerated motions in fluid under the tracking force were developed. The diffusion of action variables in strongly degenerate Hamiltonian systems was investigated. It was shown that the diffusion velocity can be polynomial. The classification of reversible two-dimensional systems with torus configuration space which admit an additional polynomial integral, was constructed. It turned out that all of them may be solved by separation of variables and that the degree of the nontrivial polynomial integral is not greater than two. It was shown that in the problem of a particle motion on a flat torus under gyroscopic forces the nonreducible polynomial integrals are linear in momenta. A detailed numerical and asymptotic analysis of the Chaplygin problem of a heavy rigid body fall in an unbounded volume of ideal fluid was performed. Doubly asymptotic motions were found, the rigid body performing the pre-set number of half-rotations. The classification of integral invariante of systems on three-dimensional manifolds with positive entropy was constructed. A variational principle for stable invariant tori of dynamical systems was found. The principle is based on investigation of averaging along the trajectories. The method of investigation of stability of equilibriums in systems with impacts was found. The Lie algebra defined by non-linear Poisson brackets was studied, using these brackets new isomorphisms in dynamics were found.