|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Методы решения задач управления и оптимизации для уравнений колебаний.НИР
Methods of solution of problems of management and optimization for the equations of oscillations.
- Руководитель НИР: Артемьева Л.А.
- Участники НИР: Бадрутдинов А.Р., Бадрутдинов А.Р., Дряженков А.А.
- Подразделение: Кафедра оптимального управления
- Срок исполнения: 1 января 2017 г. - 31 декабря 2018 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): МК-3532.2017.1
- Номер ЦИТИС: АААА-А17-117030610078-6
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Математические проблемы теории управления
- ПН России: Информационно-телекоммуникационные системы
- Направление технологического прорыва России: Стратегические информационные технологии
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.31.17 Линейные и квазилинейные уравнения и системы уравнений
- 27.37.17 Математическая теория управления. Оптимальное управление
-
Ключевые слова:
теоремы существования и единственности, дифференциальные уравнения в частных производных, математическая физика, методы оптимизации, гильбертово пространство., экстраградиентный метод
optimization methods, optimal control theory, extragradient method, existence and uniqueness theorems., partial differential equations, mathematical physics -
Описание:
В середине XX века многочисленные потребности прикладных дисциплин повлияли на возникновение нового класса экстремальных задач - задач оптимального уравления [Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В. и др.]. И сразу же последовало бурное развитие теории и методов решения задач оптимального управления. Крупнейшим достижением математики и современной теории оптимального управления является принцип максимума Понтрягина [Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.]. Это эффективное средство исследования задач оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Его появление стимулировало последующее развитие теории и методов решения экстремальных задач. Однако многие физические процессы приводят к моделям с дифференциальными уравнениями с частными производными. И здесь также возникает большое число задач оптимального управления. Таким задачам посвящена обширная литература [Ильин В.А., Моисеев Е.И., Лионс Ж.-Л., Егоров А.И. и др.]. Для некоторых классов задач исследованы вопросы существования и единственности оптимального управления, получены условия оптимальности, разработаны методы их решения. Далее отметим, что традиционный подход теории оптимального управление предполагает наличие единственного критерия качества. Однако, в последнее время, все большее внимание ученые стали уделять задачам, в которых присутствуют два и более критерия качества. Такие задачи принято относить к классу многокритериальных задач [Краснощеков П.С., Морозов В.В., Попов Н.М.]. В работе предлагается рассмотреть круг задач математической физики, которые приводят к уравнениям с частными производными. В работе предлагается рассмотреть многокритериальные постановки таких задач, исследовать вопросы выбора классов управлений, а также существования и единственности оптимального управления в соответствующих классах. Планируется разработать методы решения таких задач. В качестве базового метода предлагается взять экстраградиентный метод.
-
Abstract:
In the middle of the 20th century, the numerous needs of applied disciplines influenced the emergence of a new class of extremal problems - optimal control problems [Galeev EM, Zelikin MI, Konyagin SV and etc.]. And immediately followed the rapid development of the theory and methods of solving problems of optimal control. The largest achievement of mathematics and the modern theory of optimal control is the Pontryagin maximum principle [Pontryagin LS, Boltyanskii VG, Gamkrelidze RV, Mishchenko EF]. This is an effective tool for studying problems of optimal control of processes described by systems of ordinary differential equations. His appearance stimulated the subsequent development of the theory and methods of solving extremal problems. However, many physical processes lead to models with partial differential equations. And here, too, a large number of optimal control problems arise. Extensive literature is devoted to such problems [Ilyin VA, Moiseyev EI, Lyons Zh.-L., Egorov AI. and etc.]. For some classes of problems, questions of the existence and uniqueness of optimal control are investigated, optimality conditions are obtained, and methods for their solution are developed. Further, we note that the traditional approach of the theory of optimal control presupposes the existence of a single quality criterion. However, recently, scientists have started paying more and more attention to problems in which two or more quality criteria are present. It is customary to assign such problems to the class of multicriteria problems [Krasnoshchekov PS, Morozov VV, Popov NM]. The paper proposes to consider the range of problems in mathematical physics that lead to partial differential equations. The paper proposes to consider multicriteria statements of such problems, to investigate the choice of management classes, as well as the existence and uniqueness of optimal control in the corresponding classes. It is planned to develop methods for solving such problems. As a basic method, it is proposed to take an extragradient method.
- Добавил в систему: Врагова Елена Юрьевна
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| грант Президента РФ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Методы решения задач управления и оптимизации для уравнений колебаний. |
| Результаты этапа: На первом этапе реализации проекта рассматривалась многокритериальная задача одностороннего Дирихле-управления с закрепленным неуправляемым краем. В задаче необходимо выбирать такое управление, чтобы положение и скорость балки в заданный момент времени были как можно ближе к наперед заданным. Входные данные в задаче известны неточно. Поставленная задача была переформулирована в виде задачи минимизации свертки, от которой впоследствии был осуществлен переход к задаче минимизации невязки линейного операторного уравнения. Для численного решения такой задачи можно воспользоваться [Васильев, Потапов] вариационный метод М.М. Потапова. Однако применение такого метода требует получения априорных оценок для нормы источника искомого решения, получение которых в некоторых ситуациях (например, для пространственно-многомерного случая) может вызывать трудности. Поэтому вместо данного метода в работе для численного решения поставленной задачи было предложено воспользоваться классическими методами регуляризации типа А.Н. Тихонова. Однако, естественные функциональные пространства, в которых решение данной задачи минимизации существует, таковы, что указанный оператор не является компактным, в связи с чем, невозможно его приближение конечномерными операторами по операторной норме, и, как следствие, непосредственное применение методов регуляризации. Вместо этого в данной работе была использована схема компактного вложения, а именно рассматривалось действие оператора в более широкой паре пространств, в которой исходный оператор становится компактным. Такой подход сделал возможным получение оценок равномерной близости оператора его конечномерным приближением. Для получения конечномерного приближения исходного оператора на первом этапе реализации проекта была использована явная разностная схема с семиточечным шаблоном. Для новой пары пространств, а также описанного ранее конечномерного приближения была получена оценка равномерной близости исходного оператора его приближением с явным выражением для уровня ошибки с использованием инструмента рядов Фурье, а также неравенства Игхама. Что сделало возможным применение для решения исходной задачи методов регуляризации А.Н. Тихонова. Для решения исходной задачи был реализован метод стабилизации А.Н. Тихонова с использованием полученной оценки. Были проведены численные эксперименты иллюстрирующие возможность применения метода для решения исходной задачи. | ||
| 2 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Методы решения задач управления и оптимизации для уравнений колебаний. |
| Результаты этапа: В ходе реализации проекта рассматривалась многокритериальная задача одностороннего Дирихле-управления с закрепленным неуправляемым краем, в которой необходимо выбирать управление таким образом, чтобы положение и скорость балки/пластины в заданный момент времени были как можно ближе к наперед заданным. Данная задача рассматривалась в одномерном и пространственно-многомерном случаях. Поставленная задача как для одномерного, так и для пространственно-многомерного случая была переформулирована в виде задачи минимизации функции свертки, от которой далее был сделан переход к задаче минимизации невязки линейного операторного уравнения. Для численного решения поставленной задачи было предложено воспользоваться классическими методами регуляризации типа А. Н. Тихонова. Однако, естественные функциональные пространства, в которых решение данной задачи минимизации существует, таковы, что указанный оператор не является компактным, в связи с чем, невозможно его приближение конечномерными операторами по операторной норме, и, как следствие, непосредственное применение методов регуляризации. Вместо этого в данной работе была использована схема компактного вложения, а именно рассматривалось действие оператора в более широкой паре пространств, в которой исходный оператор становится компактным. Такой подход сделал возможным получение оценок равномерной близости оператора его конечномерным приближением. Для получения конечномерного приближения исходного оператора в одномерном случае на втором этапе реализации проекта была использована неявная разностная схема решения краевой задачи. Для новой пары пространств, а также описанного ранее конечномерного приближения была получена оценка равномерной близости исходного оператора его приближением с явным выражением для уровня ошибки с использованием инструмента рядов Фурье, а также неравенства Ингхама, что сделало возможным применение для решения исходной задачи методов регуляризации А.Н. Тихонова. С учетом полученных оценок бала написана программа, реализующая регуляризованный экстраградиентный метод поиска управления в поставленной задаче. Были проведены численные эксперименты иллюстрирующие возможность применения метода для решения исходной задачи. Для непосредственного применения методов регуляризации в пространственно-многомерном случае с помощью схемы компактного вложения, с использованием инструмента рядов Фурье, а также неравенства Ингхама были получены оценки равномерной близости оператора его конечномерным приближением, полученного с помощью явной, а также неявной схем. Полученные оценки сделали возможным применение методов регуляризации А.Н. Тихонова для решения пространственно-многомерной задачи []. С учетом описанных выше оценок бала написана программа, реализующая обобщённый принцип невязки для поставленной задачи. Были проведены численные эксперименты иллюстрирующие возможность применения метода для решения пространственно-многомерной задачи [Artemyeva L.A., Dryazhenkov A.A. Numerical solution to the Dirichlet control problem on a part of the boundary for the Petrovsky system // 17th IFAC workshop on control applications of optimization (CAO 2018) Book of Abstracts and Program. 2018. p.36]. Также в ходе выполнения проекта рассматривалась многокритериальная задача оптимального управления для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями общего вида, задаваемыми ограничениями типа неравенств, когда входные данные заданы неточно. В ходе выполнения проекта для решения поставленной задачи был предложен регуляризованный вариант экстраградиентного метода, была доказана его сходимость к нормальному (с минимальной нормой) решению исходной задачи, был построен регуляризующий оператор. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".