ИСТИНА

Целью проекта является разработка новых методов исследования фундаментальных проблем теории динамических систем - изучение их симметрий и связанных с ними алгебраических, топологических и геометрических структур, классификация вполне интегрируемых систем (т.е. систем с достаточно богатыми симметриями), изучение семейств периодических решений систем с симметриями, с приложениями к задачам геометрии, алгебры, механики. Следует отметить, что в настоящее время теория интегрируемых систем вышла далеко за пределы классической постановки и включает в себя, наряду с изучением конечномерных интегрируемых систем в классическом смысле, исследование феномена интегрируемости в самых различных аспектах. Наш проект объединяет в себя обе точки зрения. Приоритетными темами настоящего проекта являются: (1) вполне интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях, топология и симметрии их слоений Лиувилля, приложения к конкретным задачам динамики твердого тела и обобщенным биллиардам, а также к описанию «регулярных» траекторных инвариантов; (2) симплектические инварианты слоений Лиувилля и их особенностей; приложения этих инвариантов в дифференциальной геометрии и математической физике; (3) интегрируемые системы на двойственных пространствах алгебр Ли и других пуассоновых многообразиях с симметриями, алгебраические аспекты бигамильтоновых систем, приложения к алгебре, геометрии и механике; (4) суперинтегрируемые натуральные механические системы и их возмущения, периодические решения гамильтоновых систем с быстро-медленными переменными и симметриями, приложения к небесной механике. Данная тематика широко представлена в современных математических исследованиях, проводимых в Российской Федерации (МГУ, НГУ, УдГУ) и во многих зарубежных университетах, и является весьма актуальной. Группы, наиболее близкие к нам по тематике, работают в университетах Германии (Берлин, Йена), Франции (Тулуза, Ренн), Великобритании (Лафборо, Leeds), Швейцарии (Лозанна), Израиля (Тель-Авив), Польши (Ольштын, Зелена Гора), Голландии (Гронинген), Испании (Барселона), Сербии (Белград) и Канады (Торонто). В 2016 году по данной тематике было проведено 5 международных конференций («LMS EPSRC Durham Symposium on Geometric and Algebraic Aspects of Integrability» July - August, 2016, Durham, UK; VI International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems – GDIS 2016», June 2016, Izhevsk, Russia; «Integrability, Recursion, Geometry And Mechanics» September 2016, at RISM, Varese, Italy; «Poisson 2016», 10th International Conference on Poisson geometry, July 2106, Zurich, Switzerland; «Integrable Systems», Conference at the CSF Ascona, June 2016, Switzerland). (1) Важным объектом изучения в теории интегрируемых систем является лагранжево слоение с особенностями (слоение Лиувилля), естественным образом возникающее на фазовом пространстве любой такой системы. Используя топологические инварианты этих слоений (инварианты Фоменко-Цишанга и бифуркационные комплексы), можно эффективно анализировать устойчивость положений равновесия и периодических траекторий, а также описывать различные режимы движения и переходы между ними, что часто позволяет избежать громоздких вычислений. Вычисление таких инвариантов в интегрируемых задачах геометрии и механики – одно из направлений наших исследований. К настоящему времени разработаны и широко применяются методы изучения слоений Лиувилля с компактными слоями. Однако они не применимы к «кусочно-гладким» системам биллиардного типа, а также к «некомпактным» бифуркациям. Примеры интегрируемых задач механики, лагранжево слоение в которых обладает некомпактными слоями, хорошо известны (например, задача Кеплера). Топология таких слоений изучена лишь для некоторых из них, однако имеющиеся результаты далеко не полны. Помимо инвариантов слоений Лиувилля, в качественной теории интегрируемых систем важную роль играют траекторные инварианты Болсинова-Фоменко, так как они позволяют более полно описать динамические свойства систем. В отличие от топологических инвариантов они не являются дискретными, а зависят от непрерывных параметров, т.е. образуют модули. С практической точки зрения интересны те из них, которые непрерывны по отношению к малым интегрируемым возмущениям системы, поскольку их можно находить численно с высокой точностью. Известно, что не все инварианты Болсинова-Фоменко обладают этим свойством: при изменении топологии слоения Лиувилля происходят бифуркации многих траекторных инвариантов, которые изучены лишь частично. Проект направлен на восполнение этих пробелов, а именно, будет продолжено изучение динамики указанных задач и разработаны принципиально новые методы исследования кусочно-гладких систем типа биллиардов, некомпактных бифуркаций и нетривиальных «регулярных» траекторных инвариантов. (2) Помимо топологических характеристик слоений Лиувилля и их особенностей, в теории интегрируемых систем особую роль играют симплектические инварианты, поскольку именно они важны при переходе от классической задачи к квантовой. Понимание симплектической природы таких слоений в некоторых специальных частных случаях может оказаться полезным для задач, связанных с феноменом зеркальной симметрии. В контексте качественной теории конечномерных интегрируемых систем симплектические инварианты важны тем, что они удивительным образом содержат в себе практически всю информацию о топологии системы, однако эта информация находится в «закодированном» виде, и мы ставим своей задачей обнаружить и описать эти взаимосвязи. Вычисление и исследование симплектических инвариантов вполне интегрируемых систем — важная задача для изучения их динамики. Примерами таких инвариантов являются гамильтонова монодромия, целочисленные решетки переменных действия и аффинная структура с особенностями на базе слоения Лиувилля. Они позволяют делать важные выводы о динамике как в классическом, так и в квантовом случае. Одна из целей проекта - развитие новых методов вычисления симплектических инвариантов и их приложение в геометрии и математической физике. (3) Двойственные пространства алгебр Ли и скобки Пуассона-Ли появились в теории интегрируемых систем как редуцированные фазовые пространства гамильтоновых систем с симметриями. Эти структуры представляют самостоятельный предмет исследования в контексте общей теории алгебр Ли, их представлений и теории инвариантов. Методы и конструкции теории интегрируемых систем теперь активно используются для исследования этих алгебраических объектов. Например, классический метод сдвига аргумента, предложенный А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко для построения интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли, недавно был успешно использован для определения нового типа инвариантов конечномерных алгебр Ли, так называемых инвариантов Жордана-Кронекера. Они оказались полезными для ряда задач в теории алгебр Ли и их представлений. Мы планируем продолжить исследования в этом направлении, в частности, обобщить конструкцию инвариантов Жордана-Кронекера на случай произвольных конечномерных представлений алгебр Ли и доказать обобщенную гипотезу Мищенко-Фоменко. В контексте теории бигамильтоновых систем инварианты Жордана-Кронекера задают алгебраический тип линейного пучка согласованных скобок Пуассона, отвечающего алгебре Ли. Такая интерпретация приводит к целому циклу открытых вопросов, связанных с бипуассоновыми векторными пространствами, систематическое исследование которых является одной из целей проекта. Среди задач, которыми мы собираемся заниматься, наиболее интересной и нетривиальной является исследование особых точек операторов Нийенхейса и топологических препятствий к существованию таких операторов на компактных многообразиях. Эти проблемы непосредственно связаны с теорией бигамильтоновых систем, но имеют естественные приложения во многих других областях математики. (4) Задача поиска «суперинтегрируемых» систем (т.е. систем с замкнутыми траекториями в некоторой области) в классе натуральных механических систем, инвариантных относительно вращений, восходит к работам Дарбу и Бертрана. Динамические и геометрические свойства таких систем изучались многими учеными (Киллинг, Бессе, Перлик, Козлов, Борисов, Мамаев, Сантопрете, Ballesteros, Enciso, Herranz, Ragnisco). Однако в полной общности задача описания всех таких систем остается открытой из-за так называемой “проблемы экваторов”, и одной из наших целей является строгая классификация систем указанного типа. Динамические системы с быстрыми и медленными переменными находят свое применение в разных разделах механики (например, в задаче о движении заряженной частицы в медленно-изменяющемся магнитном поле), однако их применение к задачам небесной механики изучено мало. В небесной механике до сих пор открыты и актуальны проблема люков Кирквуда в поясе астероидов и проблема щелей в кольце Сатурна. Задача N тел типа «планетной системы без спутников», с массами планет одного порядка, со времен Пуанкаре изучалась методами теории возмущений, поскольку она близка к вполне интегрируемой системе. Однако теория возмущений не применима к общей задаче N тел типа «планетной системы со спутниками» (ввиду вырождения симплектической структуры у невозмущенной задачи), если количество планет более одной и массы тел, отличных от Солнца, имеют разные порядки малости. Мы намерены разработать и применить новые методы к задачам такого типа, используя идеи из теории систем с быстрыми и медленными переменными. В частности, мы покажем, что изучаемая задача N тел является специальной системой с быстро-медленными переменными, полученной малым возмущением из набора «суперинтегрируемых» систем типа Бертрана-Дарбу-Перлика, инвариантных относительно вращений, причем у невозмущенной системы симплектическая структура вырождается.

The main goal of the project is to develop and work out new methods for studying fundamental problems in the theory of dynamical systems: analysing their symmetries and related algebraic, topological and geometric structures, classification of completely integrable systems (i.e., systems with sufficiently many symmetries), studying families of periodic solutions of systems with symmetries, together with applications to geometry, algebra and mechanics. It is worth noticing that nowadays the theory of integrable systems spreads far away from the classical setting limits and includes, along with analysis of finite-dimensional systems integrable in traditional sense, the study of the integrability phenomenon on its own in rather various aspects. Our project combines the both points of view. The priority topics of the project are: (1) completely integrable systems on symplectic manifolds, the topology and symmetries of their Liouville foliations; applications to specific problem in rigid body dynamics and integrable billiards as well as to description of “regular” orbital invariants; (2) symplectic invariants of Liouville foliations and their singularities; applications of these invariants in differential geometry and mathematical physics; (3) integrable systems on the dual spaces of Lie algebras and other Poisson manifolds with symmetries, algebraic aspects of bi-Hamiltonian systems; applications in algebra, geometry and mechanics; (4) superintegrable natural mechanical systems and their perturbations, periodic solutions of Hamiltonian systems with slow-fast variables and symmetries; applications to celestial mechanics. These topics are widely represented in contemporary mathematical research carried out in Russian Federation (MSU, NSU, UdSU) and in many universities abroad and are considered as rather popular and important. The groups whose research interests are the most close to ours work in Germany (Berlin, Jena), France (Toulouse, Rennes), the UK (Loughborough, Leeds), Switzerland (Lausanne), Israel (Tel Aviv), Poland (Olsztyn, Zelena Gora), the Netherlands (Groningen), Spain (Barcelona), Serbia (Belgrade) and Canada (Toronto). In the past year, in Europe there were 5 international conferences in this area («LMS EPSRC Durham Symposium on Geometric and Algebraic Aspects of Integrability» July - August, 2016, Durham, UK; VI International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems – GDIS 2016», June 2016, Izhevsk, Russia; «Integrability, Recursion, Geometry And Mechanics» September 2016, at RISM, Varese, Italy; «Poisson 2016», 10th International Conference on Poisson geometry, July 2106, Zurich, Switzerland; «Integrable Systems», Conference at the CSF Ascona, June 2016, Switzerland). (1) One of the most important objects in the study of integrable Hamiltonian systems is the singular Lagrangian fibration (Liouville foliation) that naturally appears on the phase space of every system of this kind. Using topological invariants of such foliations makes it possible to effectively analyze the stability of equilibrium points and periodic solutions as well as to describe different dynamical regimes and passages between them without cumbersome calculations. Computing such invariants in integrable problems of geometry and physics is one research directions. By now, a number of various methods have been work out and widely applied to study Liouville foliations with compact fibers. However, they cannot be applied to “piecewise smooth” systems (e.g., billiards) or “non-compact” bifurcations. Examples of integrable systems whose Lagrangian fibration possesses non-compact fibers are well known (e.g., the Kepler problem). The topology of the corresponding Liouville foliations have been studied only for some of them but this research is far from being complete. Besides invariants of Liouville foliations, in the qualitative theory of integrable systems the Bolsinov-Fomenko orbital invariants also play an important role as they provide a more detailed description of dynamical properties of a system. Unlike topological invariants, they are not discrete but depend on continuous parameters, i.e. form some moduli. From the practical point of view, only those of them are of interests which are continuous with respect to small integrable perturbations as such invariants can be computed numerically with high accuracy. It is known that not all of Bolsinov-Fomenko invariants satisfy this condition: if the topology of Liouville foliation changes there appear bifurcations of orbital invariants which have been only partially studied. The project will be focused on filling these gaps, namely, we will continue studying the dynamics of the above-mentioned problems and will work out essentially new methods for analysis of piecewise smooth integrable systems of billiard type, non-compact bifurcations and nontrivial “regular” orbital invariants. (2) Apart from topological characteristics of Liouville foliations and their singularities, in the theory of integrable systems an essential role is played by symplectic invariants which become very important when passing from classical to quantum problems. Understanding the symplectic structure of such foliations in some particular cases turns might be useful also for problems related to the mirror symmetry phenomenon. In the context of qualitative theory of finite-dimensional integrable systems, symplectic invariants are important too as they surprisingly contain all the information about the topology of a system. However, this information is somehow encrypted, and one of our goals is to discover and describe this hidden relationship. Computation and analysis of symplectic invariants of completely integarble systems is an important problem in dynamics. Examples of such invariants include the Hamiltonian monodromy, integer lattices of action variables and singular affine structure on the base of a Liouville foliation. They allow us to make important conclusions about the dynamics both in classical and quantum setting. The project is aimed at developing new methods for computation of symplectic invariants and their applications in geometry and mathematical physics. (3) Dual spaces of Lie algebras and Lie-Poisson brackets appeared in the theory of integrable systems as reduced spaces of Hamiltonian systems with symmetries. For a long time, however, these structures are of interests on their own as natural objects to study in the context of the general theory of Lie algebras, their representations and invariant theory. Methods and constructions of the theory of integrable systems are now actively used for treating algebraic objects. For example, the classical argument shift method proposed by Mischenko and Fomenko for constructing integrable Hamiltonian systems on Lie algebras, has been recently used by members of the project team to introduce a new class of invariants of finite-dimensional Lie algebras, the so-called Jordan-Kronecker invariants. These invariants turned out to be useful for a number of problems in the theory of Lie algebras and their representations. We are planning to continue research in this direction and, in particular, to extend the concept of Jordan-Kronecker invariants to arbitrary finite-dimensional representations of Lie algebras and to prove the generalized argument shift conjecture. In the context of the theory of bi-Hamiltonian systems, Jordan-Kronecker invariants determine the algebraic type of the linear Poisson pencil associated with a given Lie algebra. Such an interpretation leads us to a number of open questions related to bi-Poisson vector spaces which will be systematically studied. Among the problems we are going to focus the most interesting and nontrivial is the study of singular points of Nijenhuis operators and topological obstructions to the existence of such operators on compact manifolds. This problem is closely related to the theory of bi-Hamiltonian systems but also have natural applications in other areas of mathematics. (4) The problem of description of superintegrable systems (i.e., systems with closed trajectories in a certain domain) in the class of natural rotationally symmetric systems goes back to Bertrand and Darboux. Dynamical and geometric properties of such systems have been studied by many mathematicians (Killing, Besse, Perlick, Kozlov, Borisov, Mamaev, Santoprete, Ballesteros, Enciso, Herranz, Ragnisco). However in full generality, the problem of description of all such systems remains open (because of the so-called “problem of equators”) and one of our goals is to get a rigorous classification of all systems of this kind. Dynamical systems with slow-fast variables have many applications in different areas of mechanics, however in celestial mechanics such systems are not widely used. Two challenging open problems in the celestial mechanics are the problem of the Kirkwood gaps in the asteroid belt and the gaps in Saturn’s rings problem. The N-body problem for «a planetary system with no satellites» with planet masses of the same order has been studied, starting from A.Poincare, by using perturbation theory as such system are very close to completely integrable ones. However, the methods of perturbation theory do not work in a more general N-body problem like «a planetary system with satellites» (in view of degeneration of the symplectic structure in the unperturbed system), when the number of planets is greater than one and the masses of planets have different orders. We intend to develop and apply new methods to the systems of this kind by using the ideas from the theory of systems with slow-fast variables. In particular, we will show that the N-body problem under consideration is a special system with slow-fast variables obtained by a small perturbation from a collection of “superintegrable” rotationally symmetric systems of Bertrand-Darboux-Perlick type where the symplectic structure of the unperturbed system degenerates.

(1) Развитие новых методов для изучения слоений Лиувилля, их невырожденных особенностей и траекторных инвариантов интегрируемых систем: (а) описание круговых молекул особенностей типа седло-седло через их представление в виде почти прямых произведений; (б) описание устойчивых особенностей типа седло-седло в системах с двумя степенями свободы; (в) топологический анализ двумерных натуральных систем с магнитным полем, инвариантных относительно вращений, классификация их особенностей и алгоритм вычисления различных топологических инвариантов для этих систем; (г) изучение топологии слоений Лиувилля для конкретных задач механики, в частности, интегрируемых обобщенных биллиардов; случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) и задачи о динамике шара Чаплыгина с ротором; (д) разработка новых топологических методов исследования слоений Лиувилля с некомпактными слоями, классификация некомпактных бифуркаций слоений Лиувилля в случае полных потоков; (e) изучение топологии конкретных интегрируемых систем с «некомпактными слоениями Лиувилля», в частности, обобщенного случая Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела, интегрируемых обобщенных биллиардов, суперинтегрируемых натуральных механических систем Бертрана-Дарбу-Перлика; (ж) изучение траекторных инвариантов 3-мерных интегрируемых несжимаемых течений и интегрируемых систем на 3-мерных изоэнергетических многообразиях. (2) Исследование симплектических инвариантов лагранжевых слоений с особенностями, возникающих в теории интегрируемых систем: (а) описание симплектических инвариантов вырожденных особенностей гамильтоновых систем с одной степенью свободы; (б) исследование топологии трехмерных многообразий, допускающих целочисленную аффинную структуру; (в) доказательство аналога теоремы Дельзанта о глобальной классификации торических действий в терминах аффинной структуры с особенностями на базе слоения Лиувилля (для случая почти торических действий); (г) описание гладких инвариантов фокусных особенностей систем с двумя степенями свободы. (3) Развитие алгебраические методов в теории бигамильтоновых систем: (а) исследование инвариантов Жордана-Кронекера конечномерных алгебр Ли и их представлений, (б) доказательство обобщенной гипотезы о сдвиге аргумента; (в) построение общей теории бипуассоновых векторных пространств; (г) доказательство локальной теоремы существования биинтегрирумой системы для пучка согласованных скобок Пуассона произвольного алгебраического типа; (д) исследование операторов Нийенхейса и их особых точек; (е) исследование топологических препятствий к существованию операторов Нийенхейса на компактных многообразиях. (4) Исследование суперинтегрируемых систем и их возмущений: (а) классификация всех натуральных механических систем типа Бертрана-Дарбу и Бертрана-Дарбу-Перлика без каких-либо ограничений типа орбитальной устойчивости всех круговых решений и отсутствия экваторов; (б) нахождение и описание семейств относительно-периодических решений систем с медленными и быстрыми переменными, нахождение условий структурной устойчивости этих решений и условий на "люки"; (в) нахождение семейств относительно-периодических решений планетно-спутниковых систем, исследование условий структурной устойчивости этих решений и условий на "люки". Все ожидаемые результаты являются фундаментальными, новыми и оригинальными. Они соответствуют мировому уровню и имеют важные приложения в алгебре, геометрии и механике.

(1) Созданы эффективные инструменты исследования топологии интегрируемых систем, включая теорию траекторных инвариантов и метод круговых молекул. Классифицированы гиперболические особенности, описаны возможные бифуркационные диаграммы для невырожденных интегрируемых систем на CP^2. Получен аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых систем с неполными потоками. Построена бесконечная серия нетривиальных непрерывных траекторных инвариантов интегрируемых систем. Исследована топология слоения Лиувилля для ряда интегрируемых случаев динамики твердого тела. Классифицированы компактные плоские области, ограниченные дугами софокусных квадрик, и области, полученные из них склейками вдоль граничных сегментов. Описана топология слоений Лиувилля для биллиардов в этих областях. Построена бесконечная серия пар топологически различных 4-мерных особенностей с одинаковой структурой слоения Лиувилля на границе. (2)Классифицированы лагранжевы расслоения над двумерными поверхностями и двумерные аффинные многообразия. Обнаружены невырожденные особенности фокусного типа, эквивалентные топологически, но не гладко. Исследованы симплектические инварианты невырожденных особенностей с любым числом степеней свободы, показана послойная симплектоморфность систем с одинаковыми переменными действиями. (3) Предложен новый тип инвариантов конечномерных алгебр Ли - инварианты Жордана-Кронекера. Показано, что многие свойства бигамильтоновых систем определяются алгебраической структурой пучка согласованных скобкок Пуассона в точке общего положения. Предложен способ построения алгебр Ли с заданными инвариантами Жордана-Кронекера. (4) Классифицированы системы типа Бертрана, удовлетворяющие либо условию замыкаемости орбит при отсутствии «экваторов», либо условию полной или устойчивой замыкаемости орбит. Получены оценки для отклонений мультипликаторов и перицентра решения Хилла от кругового решения.

(1) Разработаны новые методы для изучения слоений Лиувилля, их невырожденных особенностей и траекторных инвариантов интегрируемых систем: - Описаны устойчивые особенности типа седло-седло в системах с двумя степенями свободы. Получен критерий устойчивости особенностей типа седло-седло при интегрируемых возмущениях. - Исследованы невырожденные особенности ранга ноль многомерных интегрируемых гамильтоновых систем. Получена классификация таких особенностей малой сложности. - Проведен топологический анализ двумерных натуральных систем с магнитным полем, инвариантных относительно вращений, найдены типы их особенностей и алгоритм вычисления различных топологических инвариантов для этих систем. - Описана (в том числе в терминах инвариантов Фоменко-Цишанга) топология слоений Лиувилля для конкретных интегрируемых систем с 2 степенями свободы, в том числе для: (а) топологических биллиардов и «биллиардных книжек», (б) геодезического потока в поле сил упругого потенциала на двумерном эллипсоиде, (в) систем типа Ковалевской на пучке алгебр Ли so(2,1)-e(3)-so(4), (г) задачи о качении шара Чаплыгина с ротором. - Для произвольных n,k построена «биллиардная книжка», изоэнергетическое многообразие которой гомеоморфно линзовому пространству L(n,k). - Построены «биллиардные книжки», моделирующие слоения Лиувилля для многих известных интегрируемых систем из геометрии и механики. - Вычислены функции вращения и другие траекторные инварианты для плоских биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы. - Разработаны новые топологические методы исследования слоений Лиувилля с некомпактными слоями. Получена классификация некомпактных бифуркаций слоений Лиувилля в случае полных потоков. - Изучена топология конкретных интегрируемых систем с «некомпактными слоениями Лиувилля», в частности, обобщенного случая Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела. - Изучены траекторные инварианты 3-мерных интегрируемых несжимаемых течений и интегрируемых систем на 3-мерных изоэнергетических многообразиях, с точки зрения их устойчивости относительно интегрируемых возмущений. (2) Исследованы симплектические инварианты лагранжевых слоений с особенностями, возникающих в теории интегрируемых систем: - Исследованы симплектические инварианты вырожденных особых точек для вещественно- аналитических гамильтоновых систем с одной степенью. Получена локальная симплектическая классификация таких особенностей. - Получены локальная и полулокальная симплектические классификации параболических особенностей ранга один (с резонансами или без) для случая вещественно-аналитических систем с двумя степенями свободы. - Разработаны методы изучения многомерных особенностей вещественно-аналитических интегрируемых систем и их нормальных форм. В частности, найдено топологическое условие в терминах исчезающих циклов на слое Милнора, достаточное для справедливости следующей теоремы о локальной симплектической классификации таких особых орбит: послойная симплектоморфность двух локальных особенностей коранга 1 равносильна совпадению их локальных переменных действия. - Описаны гладкие инварианты фокусных особенностей систем с двумя степенями свободы. Эта конструкция использована для опровержения гипотезы Зунга о гладком разложении невырожденных особенностей в почти прямое произведение стандартных особенностей. - Получен аналог теоремы Морса-Дарбу для нормальной формы гладкой функции на двумерной поверхности с краем в окрестности невырожденной критической точки, лежащей на границе, относительно группы симплектомофизмов. (3) Разработаны алгебраические методы в теории бигамильтоновых систем: - Построена общая теория бипуассоновых векторных пространств. Изучены свойства их группы автоморфизмов и билагранжевых подпространств. - Показано, что билагранжев грассманиан как алгебраическое многообразие является приводимым и может содержать неприводимые компоненты малой размерности. Сформулирована гипотеза о разложении неприводимой компоненты лагранжева грассманиана максимальной размерности на орбиты группы автоморфизмов. - Предложен новый тип целочисленных инвариантов конечномерных алгебр Ли и их представлений. Среди прочих интересных свойств, эти инварианты дают нижнюю оценку на степени полиномиальных инвариантов представления. Показано, что при некоторых дополнительных ограничениях эти оценки точны тогда и только тогда, когда алгебра инвариантов представления свободно порождена. - Инварианты Жордана-Кронекера вычислены для серии полупрямых сумм классических алгебр Ли с коммутативным идеалом. - Проведен сравнительный анализ двух различных подходов к определению подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Ли-Пуассона. Указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти два типа подалгебр совпадают, и изучены их инфинитезимальные свойства. - Для алгебр Ли gl(n) и so(n) исследована полнота бикоммутативного набора полиномов, получаемого при помощи алгебраического оператора Нийенхейса-Соколова-Одесского. (4) Изучалась геометрия Нийенхейса, как общая теория операторов Нийенхейса на гладких многообразиях: - Предложена конкретная программа исследований в этом направлении, ориентированная на изучение особых точек и глобальных вопросов. Введена терминология, соответствующая новым задачам, предложены новые техники исследования (такие как метод линеаризации, аналитические функции от операторов Нийенхейса и теорема о расщеплении) и, что наиболее важно, доказан ряд новых, совершенно неочевидных результатов, демонстрирующих реалистичность предлагаемой исследовательской программы. - Классифицированы двумерные левосимметрические алгебры (такие алгебры возникают как линеаризации операторов Нийенхейса в особых точках), среди этих алгебр выделены все невырожденные (в гладком случае эта задача решена полностью, в аналитическом – вопрос о невырожденности остается открытым для некоторых исключительных случаев). - Доказана невырожденность диагональной левосимметрических алгебр произвольной размерности в аналитическом случае. - Изучены нормальные формы gl-регулярных операторов Нийенхейса в особых точках (т.е. решена проблема нийенхейсовой деформации жорданова блока). Среди таких особых точек выделены устойчивые. - Показано, что оператор Нийенхейса на четырехмерной сфере не может иметь комплексных собственных значений. (5) Исследованы суперинтегрируемые системы и их возмущения: - Получена классификация всех натуральных механических систем типа Бертрана-Дарбу и Бертрана-Дарбу-Перлика без каких-либо ограничений типа орбитальной устойчивости всех круговых решений и отсутствия экваторов. - Проведена классификация суперинтегрируемых гамильтоновых систем Бертрана в размерности 2. Такие системы характеризуются тем свойством, что все их ограниченные решения периодичны, и хотя бы одно из них не является круговым. - Доказано существование двупараметрических семейств относительно-периодических решений, а также аналогов люков Кирквуда для плоской задачи N+1 тел типа планетно-спутниковых систем. Полученные результаты опубликованы в 21 научной статье (и в 8 принятых к публикации научных статьях) в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 24 международных конференциях (67 докладов) и 4 зарубежных семинарах (4 доклада). Девять работ поданы в журналы и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php). В рамках этого семинара в Московском университете участниками проекта было организовано 4 миникурса о новых перспективных направлениях в этой области математики, с акцентом на задачи, включенные в данный проект, и их естественные продолжения.