![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Построение общей теории тонкостенных моментных упругих тел, разработка методов и алгоритмов решения новых нестационарных задач для моментных упругих оболочек, стержней и пластин.
The project is aimed at studying unsteady transient processes in thin-walled elastic bodies (shells, plates and rods), taking into account moment stresses. The main tasks of the project are: construction of a general theory of thin-walled elastic moment bodies, development of methods and algorithms for solving new non-stationary problems for moment elastic shells, rods and plates. The development of modern technology often leads to the need to use models refined in comparison with the classical theory of elasticity, which make it possible to take into account the microstructure of a substance. One of such models is a continuous medium, in which the deformation is described not only by the displacement vector, but also by the rotation vector, is the Cosserat medium, and the names of the moment, asymmetric, and microstructural theory of elasticity have been assigned to the corresponding theory in the literature. In these models, in contrast to the classical theory, the stress state is described by an asymmetric stress tensor. Therefore, such elastic bodies are characterized by a large number of physical constants compared to the classical theory of elasticity. The need for such a complication is often justified by the fact that, using the elastic (and piezoelectric) constants given in the classical theory, it is impossible to interpret, for example, the anomalous piezoelectric effect in quartz, the dispersion of elastic waves in a continuous medium, as well as the elastic properties of quartz, diamond, and other crystals. High hopes are pinned on modeling based on the concepts of generalized continua for the successful and early development of nanotechnology. In modeling and studying the deformations of nanomaterials, methods of solid mechanics are widely used. In this case, nanotubes and graphene layers are often associated with classical models of elastic thin shells and plates. Note that this approach is inaccurate, since in the classical models of elastic shells and plates, the corresponding components of the stress tensor over the thickness of these thin-walled elements are distributed according to certain laws, and graphene or a single-walled nanotube consists of only one layer of atoms. On the other hand, in the presence of graphene or a single-walled nanotube, it is necessary in their discrete models to take into account, in addition to the force, also the moment interaction between atoms. Therefore, in the continuous modeling of graphene and nanotubes, it is important to have adequate applied models of shells and plates based on the moment theory of elasticity.
Ожидаемые конкретные результаты по годам В первый год. 1. Вариационные уравнения динамики сплошной моментной упругой среды. 2. Новые кинематические соотношения и вариационное уравнение нестационарной динамики микрополярной теории тонких упругих оболочек. 3. Новый физический закон микрополярной теории тонких упругих оболочек. 4. Новая общая математическая модель для тонких упругих микрополярных оболочек. Постановка замкнутых начально-краевых задач для тонких упругих микрополярных оболочек. 5. Результаты научных работ над проектом будут отражены в 1 статье, индексируемой в базе данных SCOPUS и одной статье, индексируемой Russian Science Citation Index. 6. Доклады по результатам выполнения проекта на научных мероприятиях. Во второй год. 1. Новые замкнутые математические модели нестационарной динамики упругих моментных пластин и стержней. Замкнутые математические постановки начально-краевых задач микрополярной теории пластин и стержней. 2. Решения новых начально-краевых задач для упругих моментных бесконечных и конечных стержней. 3. Решение новых начально-краевых задач для микрополярных пластин в декартовой системе координат. 4. Результаты научных работ над проектом будут отражены в 1 статье, индексируемой в базе данных SCOPUS и двух статях индексируемых Russian Science Citation Index. 5. Доклады по результатам выполнения проекта на научных мероприятиях.
Получены фундаментальные результаты в области нестационарной динамики и термоупругости сплошных сред с усложнёнными свойствами, теории пластин и оболочек, в том числе с учётом анизотропии свойств материала. Получены фундаментальные результаты в области нестационарных контактных задач и задач динамики тел и элементов конструкций, в том числе с усложнёнными свойствами; в области нестационарной динамики деформируемых твердых тел, нестационарных волновых процессы в вязкоупругих материалах и неоднородных средах с усложнёнными свойствами; в области исследований статики и динамики электромагнитоупругих оболочек и трехслойных тонкостенных элементов конструкций, нестационарных обратных задач механики балок и стержней. Разработаны и реализованы оригинальные методы, алгоритмы и программы для ЭВМ применительно к решению как несвязанных, так и связанных задач нестационарной динамики деформируемых тел, контактных задач механики деформируемого твёрдого тела, нестационарных обратных задач.
2023 г. 1. Получены основные соотношения нестационарной динамики моментных упругих сред. Доказана теорема о кинетической энергии сплошных моментных сред. Построены общие нелинейные физические соотношения для моментной упругой среды. Построены линейные физические соотношения, которые включают три тензора четвертого ранга, компоненты которых являются физическими постоянными анизотропной моментной упругой среды. Сформирована замкнутая система уравнений сплошной моментной упругой среды. Построены Гамильтониан и основное вариационное уравнение сплошной моментной упругой среды. 2. Построены кинематические соотношения и компоненты деформированного состояния для моментных упругих оболочек. Для полей перемещений и углов микроповорота сформулированы гипотезы прямой нормали. С использованием основного вариационного уравнения сплошной моментной упругой среды построен Гамильтониан моментной упругой оболочки. С использованием Гамильтониана и вариационного принципа Гамильтона построено основное вариационное уравнение микрополярной теории тонких упругих оболочек. 3. Получен физический закон микрополярной теории тонких упругих оболочек. Полагаем, что материал оболочки обладает симметрией относительно срединной поверхности. С учетом свойств тензора Леви-Чивита для этого случая получаем физические соотношения моментной упругой среды. С использованием кинематических соотношений для микрополярных оболочек получаем законы изменения напряжений и моментных по толщине оболочки. Использование этих равенств приводит к связи внутренних силовых факторов с кинематическими параметрами оболочки - физическому закону. Показано, что если вектор угла поворота равен нулю и тензор упругих констант симметричен по первой и второй паре индексов, то из полученного физического закона вытекают физические соотношения для анизотропной упругой оболочки без учёта моментных эффектов в материале. Получен частный случай физических соотношений для изотропной микрополярной оболочки. При этом все соотношения получены в тензорной форме. 4. Построена новая общая математическая модель для упругих моментных оболочек. Сформулированы начально-краевые задачи для моментной оболочки. С использованием методов вариационного исчисления и тензорного анализа, основного вариационного уравнения, а также обобщённых физических соотношения микрополярной теории тонких упругих оболочек с произвольной анизотропией упругих и моментных свойств материала построена общая теория упругих моментных оболочек и сформулированы соответствующие начально-краевые задачи для микроополярной оболочки. Основным достоинством этого подхода является то, что соответствующие постановки начально-краевых задач получены в тензорной форме, без привязки к какой-либо определённой системе координат. 5. Дополнительно. Получены результаты исследования нестационарных продольных колебаний моментного упругого стержня конечной длины. Приведена математическая постановка и построено решение задачи о нестационарных колебаниях моментного упругого стержня с учётом поперечного обжатия. Аналитическими методами найдены функции Грина для моментно упругого стержня. Получены и представлены графически зависимости перемещений, изменений углов микроповорота и поперечного обжатия моментного упругого стержня при воздействии нестационарной распределённой осевой нагрузки. 6. Дополнительно. Решена задача о распространении нестационарных волн в поперечном сечении бесконечного полого цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала с немонотонно изменяющимися вдоль радиуса свойствами. Цилиндр заменен кусочно- однородным с большим количеством коаксиальных однородных слоев, аппроксимирующих свойства исходного материала. На основе построенного ранее решения для слоистого цилиндра исследованы волновые процессы в цилиндре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с разными видами неоднородностей немонотонного характера. 7. Дополнительно. Исследован процесс роста трещины в надрезанной пластине из хрупкого материала при нагружении растягивающими усилиями. Метод решения задачи построен на использовании перспективного численного «бессеточного метода». Решение задачи получено с помощью авторского программного комплекса, реализованного на базе предложенного метода. Полученные результаты позволяют проследить в динамике картину распространения трещины в пластине и сравнить с известными экспериментальными данными. 8. Дополнительно. Решена задача о воздействии произвольно рапределённого нестационарного давления на тонкую цилиндрическую оболочку постоянной толщины с произвольно расположенными локальными опорами. Локальные опоры представляют собой точечные граничные условия типа жесткой заделки либо шарнирной опоры. Подход к решению основан на использовании метода функции Грина и метода компенсирующих нагрузок. Амплитуды компенсирующих нагрузок определяются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с разностным ядром, которая вытекает из граничных условий. Решение системы построено с помощью дискретизации амплитуд компенсирующих нагрузок по времени. Выбор параметров численного интегрирования для функции Грина и дискретизации по времени осуществлён на основе анализа сходимости функции по непрерывной норме с заданной точностью.
грант РНФ |
# | Сроки | Название |
1 | 13 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. | Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах |
Результаты этапа: 1. Вывод основных соотношения нестационарной динамики моментных упругих сред. Доказательство теоремы о кинетической энергии сплошных моментных сред. Вывод физических соотношений формирование замкнутой системы уравнений сплошной моментной упругой среды. Построение Гамильтониана и основного вариационного уравнения сплошной моментной упругой среды. Дана общая система уравнений движения моментной упругой среды. В качестве неизвестных в ней выступают векторы перемещения и независимого угла микроповорота, несимметричные тензоры напряжений и моментных напряжений. Для замыкания системы уравнений к ней нужно добавить определяющие среду физические соотношения. С целью их построения, как следствие этих уравнений, сформулирована теорема о кинетической энергии: полный дифференциал кинетической энергии равен элементарным работам внешних и внутренних сил и моментов. При определении величин кинетической энергии и работ внешних и внутренних сил и моментов естественным образом вводятся понятия тензора деформаций, тензора изгиба-кручения, а также тензоров скоростей деформаций и скоростей изгиба-кручения. Формулируются равенства баланса энергии, следующие из закона сохранения энергии и уравнения притока тепла. Вводится величина внутренней энергии системы как функция определяющих параметров моментной упругой среды, в качестве которых выступают упругие деформации и деформации изгиба-кручения. Из условия баланса внутренней и потенциальной энергий вытекают общие нелинейные физические соотношения для моментной упругой среды. Далее ограничиваемся обычным для линейных моделей квадратичным приближением внутренней энергии в окрестности начального состояния. Это приводит к линейным физическим соотношениям, которые включают три тензора четвертого ранга, компоненты которых являются физическими постоянными анизотропной моментной упругой среды. В результате получена общая замкнутая система уравнений неоднородной анизотропной моментной упругой среды. Получены частные случаи этой системы уравнений для однородной среды и для однородной изотропной среды. Последняя характеризуется шестью независимыми физическими постоянными. С использованием вариационных принципов Гамильтона и Лагранжа и с помощью обобщения теоремы Остроградского-Гаусса построен Гамильтониан и основное вариационное уравнение сплошной моментной упругой среды. 2. Построение кинематических соотношений и компонентов деформированного состояния для моментных упругих оболочек. Построение Гамильтониана и основного вариационного уравнения микрополярной теории тонких упругих оболочек. Рассматривается однородная анизотропная моментная упругая оболочка постоянной толщины, материал которой обладает симметрией относительно ее срединной гладкой ориентированной поверхности с единичным нормальным вектором к внешней стороне. При этом полагается, что оболочка является тонкой. Для поля перемещения используем гипотезу прямой нормали. В результате получаем геометрические соотношения для моментной упругой оболочки в тензорном виде. Далее, с использованием основного вариационного уравнения сплошной моментной упругой среды строим Гамильтониан моментной оболочки. При этом вводятся тензоры тангенциальных усилий и моментов, векторы перерезывающих усилий и дополнительных моментов, нормальное усилие. А также соответствующие тензоры и векторы усилий и моментов, являющиеся следствиями наличия моментных напряжений. Выводим формулы для кинетической энергии моментной оболочки и работы внешних сил. В результате получаем, гамильтониан и основное вариационное уравнение микрополярной теории тонких упругих оболочек. 3. Вывод физического закона микрополярной теории тонких упругих оболочек. Полагаем, что материал оболочки обладает симметрией относительно срединной поверхности. С учетом свойств тензора Леви-Чивита для этого случая получаем физические соотношения моментной упругой среды. С использованием кинематических соотношений для микрополярных оболочек получаем законы изменения напряжений и моментных по толщине оболочки. Использование этих равенств приводит к связи внутренних силовых факторов с кинематическими параметрами оболочки - физическому закону. Показано, что если вектор угла поворота равен нулю и тензор упругих констант симметричен по первой и второй паре индексов, то из полученного физического закона вытекают физические соотношения для анизотропной упругой оболочки без учёта моментных эффектов в материале. Получен частный случай физических соотношений для изотропной микрополярной оболочки. При этом все соотношения получены в тензорной форме. 4. Построение новой общей математической модели для упругих моментных оболочек. Формирование начально-краевых задач для моментной оболочки. С целью построения уравнений движения и граничных условий для моментной оболочки используем полученное основное вариационное уравнение микрополярной теории оболочек для функционала Гамильтона. Далее последовательно находим вариации составляющих функционала Гамильтона. С использованием обобщенной формулы Остроградского-Гаусса для поверхностей и интегрирования по частям получаем вариационное уравнение для моментной оболочки. Отсюда с использованием первой теоремы вариационного исчисления получаем уравнения движения и естественные граничные условия. Построенная система содержит двенадцать уравнений движения. Для ее замыкания добавляем физические и кинематические соотношения. Для постановки начально-краевых задач к указанным уравнениям и граничным условиям добавляем соответствующие начальные условия. Отметим, что, если в полученных уравнениях положить вектор угла поворота равным нулю и тензор напряжений симметричным, то первые четыре уравнения будут совпадать с уравнениями движения классической упругой оболочки. Таким образом, получена общая модель моментной упругой (микрополярной) анизотропной оболочки. Эта модель учитывает сдвиги и инерцию вращения поперечных сечений, а также поперечное обжатие. Как частный случай построенных уравнений и соотношений получена модель изотропной микрополярной оболочки. Также получены упрощённые модели. Первая из них построена в пренебрежении поперечным обжатием оболочки. Вторая упрощённая модель связана с принятием гипотезы Кирхгофа-Лява как для перемещений, так и для угла микроповорота. 5. Дополнительно. Исследованы нестационарные продольные колебания моментного упругого стержня конечной длины. Для описания движения стержня используется система уравнений общей модели моментных упругих тонких тел без дополнительных гипотез. Уравнения этой модели учитывают продольные движения, изменения угла независимого микроповорота, а также поперечное обжатие стержня. Материал стержня полагается однородным и изотропным. Система уравнений движения дополняется физическими соотношениями, которые описывают связи перемещений, изменений углов и поперечного обжатия с усилиями. В отличие от классических моделей в моментном стержне, кроме нормальных усилий, возникают дополнительные силовые факторы. Ими являются: дополнительные моменты, моментные перерезывающие усилия, моменты моментных напряжений. Соответственно, кроме упругих констант материала учитываются дополнительные физические параметры среды, необходимые при учёте моментных эффектов в материале. В качестве граничных условий на торцах стержня используются условия обобщенного шарнирного опирания. Начальные условия полагаются нулевыми. Для построения решения используются разложения искомых функций и внешней нагрузки в тригонометрические ряды Фурье. Подстановка этих разложений в исходные соотношения приводит к системе уравнений относительно коэффициентов рядов, зависящих от времени. Для её решения используется интегральное преобразование Лапласа по времени. В результате найдены выражения для искомых коэффициентов рядов разложений в пространстве изображений. Каждое из этих выражений представляет собой сумму трёх произведений. Сомножителями в этих произведениях являются изображения по Лапласу коэффициентов разложений в ряд Фурье для нагрузки и для функций влияния. Функции влияния являются фундаментальными решениями (функциями Грина) исследуемой задачи. Оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния находятся аналитически с помощью вычетов. Окончательные выражения для коэффициентов рядов разложения решений имеют вид свёрток по времени. Ядрами этих интегральных представлений являются оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния. В качестве примера рассмотрена реакция моментного упругого стержня на воздействие нестационарной осевой нагрузки. Полученные результаты проиллюстрированы графически. Проведена оценка практической сходимости рядов разложений. 6. Дополнительно. Рассмотрена задача о распространении нестационарных волн в поперечном сечении бесконечного полого цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала с немонотонно изменяющимися вдоль радиуса свойствами. Цилиндр заменен кусочно- однородным с большим количеством коаксиальных однородных слоев, аппроксимирующих свойства исходного материала. На основе построенного ранее решения для слоистого цилиндра исследованы волновые процессы в цилиндре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с разными видами неоднородностей немонотонного характера. При непрерывной функции внешней нагрузки подтверждена правомерность использования метода аппроксимации функционально-градиентного материала слоистой структурой в нестационарных динамических задачах рассматриваемого типа. Предложенный подход позволил впервые промоделировать распространение нестационарных волн в вязкоупругих функционально-градиентных материалов с немонотонной зависимостью их физико-механических параметров от координат. Исследованы нестационарные динамические процессы в поперечном сечении полого бесконечного цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала при немонотонном изменении его свойств в радиальном направлении. Проведено сравнение характеристик переходных волновых процессов при разных вариантах такого изменения, а также их сопоставление с соответствующими характеристиками для трехслойного и однородного цилиндров. Показано преимущество функционально-градиентного материала перед трехслойным композитом, а также однородным материалом при нестационарном радиальном нагружении полости цилиндра. Продемонстрировано влияние на нестационарный процесс вязкости материалов. 7. Дополнительно. Исследован процесс роста трещины в надрезанной пластине из хрупкого материала при нагружении растягивающими усилиями. Метод решения задачи построен на использовании перспективного численного «бессеточного метода». Для оценки точности предложенного метода была решена задача с известным аналитическим решением - оценка распределения напряжений в окрестности вершины трещины (соотношения Колосова), показавшая хорошее согласование результатов численного и аналитического решений. Решение задачи получено с помощью авторского программного комплекса, реализованного на базе предложенного метода. Полученные результаты позволяют проследить в динамике картину распространения трещины в пластине и сравнить с известными экспериментальными данными. 8. Дополнительно. Разработан метод построения нестационарной функции нормальных перемещений в тонкой цилиндрической оболочке постоянной толщины с произвольно расположенными локальными опорами. Локальные опоры представляют собой точечные граничные условия для жесткой заделки либо для шарнирной опоры. В начальный момент времени оболочка находится в невозмущенном состоянии, затем на внешнюю поверхность оболочки по нормали воздействует мгновенно приложенная сосредоточенная нагрузка с переменной во времени амплитудой, математически описываемая с помощью дельта-функций Дирака. Движение оболочки рассматривается в цилиндрической системе координат, связанной с осью оболочки. В качестве модели оболочки приняты гипотезы Кирхгофа – Лява. В зависимости от координаты воздействия нагрузки рассматривается внутренняя или внешняя область «замкнутого» контура опор оболочки. Постановка задачи включает в себя уравнения движения упругой оболочки Кирхгофа – Лява, соответствующие геометрические и физические соотношения с учетом симметрии свойств материала, начальные и граничные условия. Подход к решению основан на использовании метода функции Грина и метода компенсирующих нагрузок. Для каждой локальной опоры вводятся три сосредоточенные компенсирующие нагрузки. Функция нестационарных нормальных перемещений есть сумма интегральных операторов сверток функции Грина для неограниченной оболочки с функциями действующей нестационарной нагрузки и с компенсирующими нагрузками из точечных граничных условий. Амплитуды компенсирующих нагрузок определяются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с разностным ядром, которая вытекает из подстановки в граничные условия. Решение системы строиться с помощью дискретизации амплитуд компенсирующих нагрузок по времени. Интегралы сверток при рассматриваемом виде нагрузки берутся аналитически. Выбор параметров численного интегрирования для функции Грина и дискретизации по времени осуществляется на основе анализа сходимости функции по непрерывной норме с заданной точностью. | ||
2 | 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. | Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".